Successione con parametro..
Ciao, ho un dubbio su come ho risolto questo esercizio. Cioè non so se l'ho svolto in maniera corretta. Verificate per favore, se tutto dovesse essere corretto scrivete "è corretto". Grazie in anticipo
Sia \(\displaystyle \gamma \in \mathbb{R} \).
Consideriamo le successioni \(\displaystyle a_n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}-1 \) e \(\displaystyle b_n=(-1)^n n^\gamma a_n\)
La successione \(\displaystyle \{b_n\} \) converge se e solo se?
A- \(\displaystyle \gamma \leq 0 \) B- \(\displaystyle \gamma\leq 1 \) C- \(\displaystyle \gamma<1 \) D- \(\displaystyle \gamma\leq2 \) E- \(\displaystyle \gamma<2 \)
ho svolto così:
per me è la lettera C cioè per \(\displaystyle \gamma < 1 \)
il ragionamento che ho fatto è
\(\displaystyle a_n=\) $ exp ( ln ( ( 1+1 / n )^n / e ) )-1 $\(\displaystyle = \) $ exp ( n( ln ( 1+ 1 / n ) ) ) e^{-ln e} -1 $ \(\displaystyle = \) \(\displaystyle = \)$ exp ( n( 1 / n - (1) / (2n^(2)) ) )e^{-1}-1 $ \(\displaystyle =e^{1-\frac{1}{2n}}e^{-1}-1=e^{-\frac{1}{2n}}-1\sim -\frac{1}{2n} \) per \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \)
quindi \(\displaystyle b_n=(-1)^n n^\gamma \left(-\frac{1}{2n}\right)=(-1)^n\left(-\frac{1}{2n^{1-\gamma}}\right) \)
converge per \(\displaystyle 1-\gamma>0\rightarrow \gamma<1 \)
Ditemi se il ragionamento e la soluzione è corretta.
Grazie in anticipo
Sia \(\displaystyle \gamma \in \mathbb{R} \).
Consideriamo le successioni \(\displaystyle a_n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}-1 \) e \(\displaystyle b_n=(-1)^n n^\gamma a_n\)
La successione \(\displaystyle \{b_n\} \) converge se e solo se?
A- \(\displaystyle \gamma \leq 0 \) B- \(\displaystyle \gamma\leq 1 \) C- \(\displaystyle \gamma<1 \) D- \(\displaystyle \gamma\leq2 \) E- \(\displaystyle \gamma<2 \)
ho svolto così:
per me è la lettera C cioè per \(\displaystyle \gamma < 1 \)
il ragionamento che ho fatto è
\(\displaystyle a_n=\) $ exp ( ln ( ( 1+1 / n )^n / e ) )-1 $\(\displaystyle = \) $ exp ( n( ln ( 1+ 1 / n ) ) ) e^{-ln e} -1 $ \(\displaystyle = \) \(\displaystyle = \)$ exp ( n( 1 / n - (1) / (2n^(2)) ) )e^{-1}-1 $ \(\displaystyle =e^{1-\frac{1}{2n}}e^{-1}-1=e^{-\frac{1}{2n}}-1\sim -\frac{1}{2n} \) per \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \)
quindi \(\displaystyle b_n=(-1)^n n^\gamma \left(-\frac{1}{2n}\right)=(-1)^n\left(-\frac{1}{2n^{1-\gamma}}\right) \)
converge per \(\displaystyle 1-\gamma>0\rightarrow \gamma<1 \)
Ditemi se il ragionamento e la soluzione è corretta.
Grazie in anticipo
Risposte
La soluzione è giusta e i passaggi mi sembrano corretti!
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