Successione complessa
Studiare il carattere della successione $n->(a+i/2)^n$ al variare di a reale.
Ho pensato (e vi chiedo conferma) che $|(a+i/2)|=root(2)(a^2-1/4)$.
Se la norma è maggiore di 1, cioè se $a>1/2$, la successione diverge.
Se la norma è minore di 1, cioè se $a<1/2$, la successione converge a 0.
Se le mie conclusioni sono giuste, cosa accade se la norma è uguale a 1, cioè se a=1/2? La successione continua a girare sulla circonferenza unitaria...?
Ho pensato (e vi chiedo conferma) che $|(a+i/2)|=root(2)(a^2-1/4)$.
Se la norma è maggiore di 1, cioè se $a>1/2$, la successione diverge.
Se la norma è minore di 1, cioè se $a<1/2$, la successione converge a 0.
Se le mie conclusioni sono giuste, cosa accade se la norma è uguale a 1, cioè se a=1/2? La successione continua a girare sulla circonferenza unitaria...?
Risposte
Ti pare che $|alpha+beta|=\sqrt(alpha^2+beta^2)$?
Anche se mi ripeto, mi sembra che ti serva seriamente un ripasso almeno di Analisi I.
Anche se mi ripeto, mi sembra che ti serva seriamente un ripasso almeno di Analisi I.
Sia $z=a+ib$. $|z|=root(2)(a^2+b^2)$. No?
Ah, scusa $a$ è reale. 
Sisi, allora quanto hai scritto è parzialmente giusto: infatti $|a-i/2|=\sqrt(a^2+(-1/2)^2)=\sqrt(a^2+1/4)$ che è diverso da $\sqrt(a^2-1/4)$ (il modulo si calcola elevando al quadrato la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario, come hai detto nel post precedente).
Ad ogni modo, per i valori di $a$ che rendono unitario il modulo ti conviene esplicitare e vedere cosa esce fuori (non ho fatto calcoli, però).
Sisi, allora quanto hai scritto è parzialmente giusto: infatti $|a-i/2|=\sqrt(a^2+(-1/2)^2)=\sqrt(a^2+1/4)$ che è diverso da $\sqrt(a^2-1/4)$ (il modulo si calcola elevando al quadrato la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario, come hai detto nel post precedente).
Ad ogni modo, per i valori di $a$ che rendono unitario il modulo ti conviene esplicitare e vedere cosa esce fuori (non ho fatto calcoli, però).
Per $a=root(2)(3)/2$ in teoria la successione continua a girare intorno alla circonferenza unitaria in quanto la norma è sempre 1...no?
Per affermare una cosa del genere devi calcolare l'argomento $theta_n$ di $(a-i/2)^n$ e mostrare che le successioni $cos theta_n,sintheta_n$ non convergono.
Gugo a é reale quindi ha ragione lui.
Peró sotto radice ci vedo un piú.
A parte questo fatto irrilevante il tuo ragionamento é corretto!
Chiaramente se la norma di un numero complesso é 1 ai voglia a fare potenze la norma é sempre 1 perché essendo il prodotto delle norme nel caso complesso nel piano cioé, hai sempre 1.
Attento peró che il fatto che usi la norma, coincidente con il modulo nel caso complesso, non é garanzia in generale di convergenza.
i elevato ad n diverge pur essendo convergente assolutamente.
Peró sotto radice ci vedo un piú.
A parte questo fatto irrilevante il tuo ragionamento é corretto!
Chiaramente se la norma di un numero complesso é 1 ai voglia a fare potenze la norma é sempre 1 perché essendo il prodotto delle norme nel caso complesso nel piano cioé, hai sempre 1.
Attento peró che il fatto che usi la norma, coincidente con il modulo nel caso complesso, non é garanzia in generale di convergenza.
i elevato ad n diverge pur essendo convergente assolutamente.
"regim":
$i^n$ diverge pur essendo convergente assolutamente.
Scusa ma sul fatto che $i^n$ diverga ho più di qualche dubbio.
Dipende dalla definizione di divergenza, in molti testi é semplicemente quando una successione non converge, in altri anch'essi molti, é usata per dire che va ad infinito.
Io uso la definizione classica, ossia in congtrapposizione a convergente, in altri testi direbbero la successione é indeterminata nel caso proposto.
Quindi anche tu non sbagli
Io uso la definizione classica, ossia in congtrapposizione a convergente, in altri testi direbbero la successione é indeterminata nel caso proposto.
Quindi anche tu non sbagli
Infatti, $i^n$ non può certo divergere...ma è convergente? Secondo me no perchè non esiste il limite per $n->oo$. Giusto?
[edit]: flashato da regim
[edit]: flashato da regim
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