Successione che tende al sup di un insieme

[liam-lover]

"Dimostrare che dato un insieme A ⊂ R, esiste una successione di suoi elementi che tende a sup (A) e un’altra che tende a inf (A)."

Potete dirmi se questa dimostrazione va bene?

Un sottoinsieme A di R è limitato quando $ |a|<=l $ $ AA a in A $.
In quel caso, l = sup(A) e -l = inf(A).
Nel caso non sia limitato superiormente, sup(A) = $ oo $ . Nel caso non sia limitato inferiormente, inf(A) = $ -oo $.

Suppongo sia limitato superiormente: l = sup(A).
Se an è una successione di numeri reali, con an € A, per definizione di estremo superiore $ AA delta >0EE nu :l-delta Inoltre $ a_nu <=l $, quindi $ l-delta Se prendo an crescente, $ AA n>nu $ vale $ l-delta
Suppongo sia limitato inferiormente: l = inf(A).
Se an è una successione di numeri reali, con an € A, per definizione di estremo inferiore $ AA delta >0EE nu :l+delta >a_nu $
Inoltre $ a_nu >=l $, quindi $ l+delta >a_nu >=l $
Se prendo an decrescente, $ AA n>nu $ vale $ l+delta >a_nu >=a_n>=l>l-delta rArr |a_n-l|
Se A non è limitato superiormente: $ AA M>0EE nu : a_nu >M $ con an € A.
Se an è crescente, $ AA n>nu $ vale $ a_n>=a_nu $ , cioé $ a_n>=a_nu >MrArr a_nrarr oo $

Se A non è limitato inferiormente: $ AA M>0EE nu : a_nu <-M $ con an € A.
Se an è decrescente, $ AA n>nu $ vale $ a_n<=a_nu <-MrArr a_nrarr -oo $

[anto_zoolander]

Ciao!

In genere le quattro cose che ti sto per dire sono equivalenti: dato $AsubseteqRR$

- $exists x in RRexists r>0 : AsubseteqB(x,r)$
- $existsr>0: AsubseteqB(0,r)$
- $existsM>0: forall a in A(|a| - $s u pA,i n f A in RR$

queste(e ce ne sono anche altre) sono definizioni equivalenti di limitatezza di un insieme
il fatto che $|a|leql, forall a in A$ non implicano che sup e inf siano $l$ e $-l$ ma soltanto che siano finiti.

La dimostrazione non va bene perchè cominci con "Se $a_n$ è una succ..." e tu questa successione devi mostrare che esista e mostrarla, non che tu debba prenderla.

A tal proposito puoi usare proprio le proprietà del sup: ti do un'idea per la prima, vediamo se riesci a trarne informazioni per lavorare sulla seconda

supponiamo che $A$ sia limitato
Se $A$ è limitato allora $lambda:= s u pA$ è finito, quindi comunque scelto $epsilon>0$ esiste un certo $x in A$ per cui $lambda-epsilonassioma della scelta[/nota] di estrarre una successione ${x_n}_(n in NN)subseteqA$ per cui $lambda-1/(n+1)leqx_nleqlambda$. Da questo, passando a limite, si ottiene la tesi.

[liam-lover]

"anto_zoolander":Ciao!

In genere le quattro cose che ti sto per dire sono equivalenti: dato $ AsubseteqRR $

- $ exists x in RRexists r>0 : AsubseteqB(x,r) $
- $ existsr>0: AsubseteqB(0,r) $
- $ existsM>0: forall a in A(|a|
- $ s u pA,i n f A in RR $

queste(e ce ne sono anche altre) sono definizioni equivalenti di limitatezza di un insieme
il fatto che $ |a|leql, forall a in A $ non implicano che sup e inf siano $ l $ e $ -l $ ma soltanto che siano finiti.

Quindi non posso definire A illimitato superiormente o inferiormente un sottoinsieme di R?

"anto_zoolander":
supponiamo che $ A $ sia limitato
Se $ A $ è limitato allora $ lambda:= s u pA $ è finito, quindi comunque scelto $ epsilon>0 $ esiste un certo $ x in A $ per cui $ lambda-epsilon. Considerando $ epsilon=1/(n+1) $ sappiamo che per ogni $ n in NN $ esiste un elemento di $ A $ che ti dona quella proprietà. Questo ti permette di estrarre una successione $ {x_n}_(n in NN)subseteqA $ per cui $ lambda-1/(n+1)leqx_nleqlambda $. Da questo, passando a limite, si ottiene la tesi.

Okay, quindi prima suppongo che sia limitato sia inferiormente che superiormente, e cioè che abbia inf(A) e sup(A) finiti.

Applico lo stesso ragionamento per inf(A):

comunque scelto $ epsilon>0 $, esiste un certo $ x in A $ per cui $ lambda +epsilon>x_n>=lambda $
Se $ epsilon=1/(n+1) $, allora per l'assioma della scelta posso estrarre una successione xn tale che $ lambda +epsilon>x_n>=lambda $, cioè $ lambda +epsilon>x_n>=lambda>lambda +epsilon $ e quindi $ |x_n-lambda |

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[liam-lover]

up

[anto_zoolander]

I sottoinsiemi illimitati di $RR$ sono tutti quelli per cui almeno uno dei due estremi è infinito.

Per quanto riguarda parte ci sono delle cose che non vanno bene.
1. Poni $epsilon=1/(n+1)$ e non lo usi
2. Scrivi che $lambda>lambda+epsilon$ che non è vero in quanto è $epsilon>0$

In più puoi fermarti al dire ‘possiamo costruire’, l’assioma della scelta per ora lasciamo da parte, era giusto per darti una giustificazione del perché si potesse costruire.

Dovresti arrivare a $lambdaleqx_n
Chiaramente puoi porre $epsilon=$una qualsiasi successione che tenda a $0$, ho scelto $1/(n+1)$ per comodità.

[liam-lover]

"anto_zoolander":Per quanto riguarda parte ci sono delle cose che non vanno bene.
1. Poni $epsilon=1/(n+1)$ e non lo usi
2. Scrivi che $lambda>lambda+epsilon$ che non è vero in quanto è $epsilon>0$

1. Hai ragione, ho dimenticato di sostituirlo!
2. Errore di battitura, volevo scrivere che $ λ+ε>x_n≥λ>λ-ε $. Ho messo un più al posto del meno.

Riprovo:
comunque scelto $ ε>0 $ , esiste un certo $ x∈A $ per cui $ λ+ε>x_n≥λ $

Se $ ε=1/(n+1) $ , allora posso costruire una successione xn tale che $ λ+1/(n+1)>x_n≥λ $

cioè $ λ+1/(n+1)>x_n≥λ>λ-1/(n+1) $ e quindi $ |x_n−λ|<1/(n+1) $

"anto_zoolander":
Dovresti arrivare a $ lambdaleqx_n

Quindi non devo per forza specificare che $ λ+1/(n+1)>x_n≥λ>λ-1/(n+1) $?

Se mi fermassi a $ λ+1/(n+1)>x_n≥λ $, avrei che $ 0<=x_n-λ<1/(n+1) $.

Basta dire questo per avere che $ |x_n−λ|<1/(n+1) $?

"anto_zoolander":I sottoinsiemi illimitati di $ RR $ sono tutti quelli per cui almeno uno dei due estremi è infinito.

Okay, quindi:

se A è illimitato superiormente, sup(A) = $ oo $ e inf(A) = $ lambda $, numero finito.

Comunque scelto M>0, esiste un certo $ x∈A $ tale che $ M
E' una buona impostazione? E da qui come arrivo al limite?

[anto_zoolander]

"maxira":comunque scelto $ ε>0 $ , esiste un certo $ x∈A $ per cui $ λ+ε>x_n≥λ $

Quì c’è un refuso. Dici $x in A$ e scrivi $x_n$, spero sia una svista

Quando arrivi a $lambdaleqx_n Devi far vedere che la successione $x_n$ converge a $lambda$.

Sai che ${x_n}$ è minorata da una successione costante(la successione $a_n=lambda$) e maggiorata dalla successione $b_m=lambda+1/(n+1)$. Arrivati a questo punto hai che

$foralln in NN, a_nleqx_n
Quì applichi il teorema dei due carabinieri per successioni(lo conosci?) e concludi.

Per l’altro: vuoi dimostrare che se un insieme è superiormente illimitato allora ammette almeno una successione divergente?
Il trucco è sempre quello di costruire una successione(che non conosci) che è costretta da un’altra, che costruisci e conosci, ad assumere un certo comportamento.
Nei casi precedenti abbiamo costruito la successione $x_n$ che non conoscevamo in modo tale da essere costretta a stare in mezzo a due successioni che conosciamo: le successioni $lambda$ e $lambda+1/(n+1)$

In questo caso devi sfruttare la definizione di insieme superiormente illimitato, osservando che:

$s u pA=+infty => $forallM inRRexists x in A: M

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liam-lover

5 nov 2018, 21:28

"anto_zoolander":
Quì c’è un refuso. Dici $ x in A $ e scrivi $ x_n $, spero sia una svista

Sempre una svista, scusami

"anto_zoolander":
Quì applichi il teorema dei due carabinieri per successioni(lo conosci?) e concludi.

Adesso ho capito. Fino ad ora nelle dimostrazioni avevo sempre ricavato $ |x_n-lambda | Mi basta quindi sfruttare carabinieri e, poiché i limiti delle due successioni agli estremi sono uguali, anche xn tende a $ lambda $.

"anto_zoolander":
Per l’altro: vuoi dimostrare che se un insieme è superiormente illimitato allora ammette almeno una successione divergente?
Il trucco è sempre quello di costruire una successione(che non conosci) che è costretta da un’altra, che costruisci e conosci, ad assumere un certo comportamento.
Nei casi precedenti abbiamo costruito la successione $ x_n $ che non conoscevamo in modo tale da essere costretta a stare in mezzo a due successioni che conosciamo: le successioni $ lambda $ e $ lambda+1/(n+1) $

In questo caso devi sfruttare la definizione di insieme superiormente illimitato, osservando che:

$ s u pA=+infty => $forallM inRRexists x in A: M

Ci provo:

per definizione di insieme superiormente illimitato, $ AA M €R EE x € A:x>M $
Prendo una successione di numeri naturali che tende ad infinito, ad esempio $ x_n = n $ (con $ n>=lambda $ = inf(A), numero finito), e $ AAn $ così preso $ EE x€A>n $, il che significa che $ EE x_1>x_n = n $, $ x_2>x_(n+1) = n+1 $ e così via.
Poiché $ x_(n+1)>x_n $, posso affermare che $ x_n Posso costruire una successione $ x_k $ con $ k € N $ tale che $ n < x_k<=n+1 $ per ogni $ n>=lambda $.
Per il teorema dei carabinieri, $ x_krarr oo $

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anto_zoolander

5 nov 2018, 22:17

È un po’ confusionario quello che scrivi, dovresti chiarire un po’ meglio l’argomento a livello ‘visivo’.
Bisogna sfruttare il fatto che $forallMin RRexists x inA ...$

Puoi porre $M=2^n$ con $n in NN$ e scegli una successione ${x_n}$ di $A$(e puoi farlo, sempre per quell’assioma) con la proprietà che

$foralln inNN, x_n>2^n$

Da cui si giunge ovviamente alla tesi in quanto

$lim_(n->+infty)x_ngeqlim_(n->+infty)2^n=+infty$

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[liam-lover]

"anto_zoolander":
Quì c’è un refuso. Dici $ x in A $ e scrivi $ x_n $, spero sia una svista

Sempre una svista, scusami

"anto_zoolander":
Quì applichi il teorema dei due carabinieri per successioni(lo conosci?) e concludi.

Adesso ho capito. Fino ad ora nelle dimostrazioni avevo sempre ricavato $ |x_n-lambda | Mi basta quindi sfruttare carabinieri e, poiché i limiti delle due successioni agli estremi sono uguali, anche xn tende a $ lambda $.

"anto_zoolander":
Per l’altro: vuoi dimostrare che se un insieme è superiormente illimitato allora ammette almeno una successione divergente?
Il trucco è sempre quello di costruire una successione(che non conosci) che è costretta da un’altra, che costruisci e conosci, ad assumere un certo comportamento.
Nei casi precedenti abbiamo costruito la successione $ x_n $ che non conoscevamo in modo tale da essere costretta a stare in mezzo a due successioni che conosciamo: le successioni $ lambda $ e $ lambda+1/(n+1) $

In questo caso devi sfruttare la definizione di insieme superiormente illimitato, osservando che:

$ s u pA=+infty => $forallM inRRexists x in A: M

Ci provo:

per definizione di insieme superiormente illimitato, $ AA M €R EE x € A:x>M $
Prendo una successione di numeri naturali che tende ad infinito, ad esempio $ x_n = n $ (con $ n>=lambda $ = inf(A), numero finito), e $ AAn $ così preso $ EE x€A>n $, il che significa che $ EE x_1>x_n = n $, $ x_2>x_(n+1) = n+1 $ e così via.
Poiché $ x_(n+1)>x_n $, posso affermare che $ x_n Posso costruire una successione $ x_k $ con $ k € N $ tale che $ n < x_k<=n+1 $ per ogni $ n>=lambda $.
Per il teorema dei carabinieri, $ x_krarr oo $

[anto_zoolander]

È un po’ confusionario quello che scrivi, dovresti chiarire un po’ meglio l’argomento a livello ‘visivo’.
Bisogna sfruttare il fatto che $forallMin RRexists x inA ...$

Puoi porre $M=2^n$ con $n in NN$ e scegli una successione ${x_n}$ di $A$(e puoi farlo, sempre per quell’assioma) con la proprietà che

$foralln inNN, x_n>2^n$

Da cui si giunge ovviamente alla tesi in quanto

$lim_(n->+infty)x_ngeqlim_(n->+infty)2^n=+infty$