Successione che non esiste?
Un mio collega dice che se devo calcolare il limite della successione:
[tex](-2)^\frac{1}{n}[/tex]
La radice è definita solo per le estratte di posto dispari, perchè per indici pari la successione non esiste in quanto diventerebbe radice quadrata di un numero negativo.
E' vera questa cosa oppure è un problema che non bisogna porsi?
[tex](-2)^\frac{1}{n}[/tex]
La radice è definita solo per le estratte di posto dispari, perchè per indici pari la successione non esiste in quanto diventerebbe radice quadrata di un numero negativo.
E' vera questa cosa oppure è un problema che non bisogna porsi?
Risposte
Come al solito c'è confusione sulle potenze ad esponente razionale.
Ne abbiamo parlato millemila volte, prova a cercare bene sul foro.
Ne abbiamo parlato millemila volte, prova a cercare bene sul foro.
Cercare cosa, potenze con esponente razionale?
Non mi sembra di trovare facilmente quello che cerco..
Non mi sembra di trovare facilmente quello che cerco..
Questa è una delle discussioni sull'argomento:
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 36572.html
Ma ce ne sono state molte altre. Se ne ritrovo qualcuna posto il link.
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 36572.html
Ma ce ne sono state molte altre. Se ne ritrovo qualcuna posto il link.
Allora da quello cge leggo io come mi devo comportare con il mio limite?
E' vero allora che quel limite esiste solo per estratte di posto dispari...da quello che ho letto.
Ho il limite non esiste, oppure mi viene in mente il teorema di Bolzano Weierstrass.....
E' vero allora che quel limite esiste solo per estratte di posto dispari...da quello che ho letto.
Ho il limite non esiste, oppure mi viene in mente il teorema di Bolzano Weierstrass.....
Quella successione è effettivamente definita "male" (se si rimane nel reale), ossia non è definita in tutto [tex]$\mathbb{N}$[/tex]: infatti [tex]$(-2)^\frac{1}{2h}$[/tex] non esiste in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] per alcun [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex].
Credo che, in questo caso, la cosa migliore da fare sia come hai fatto tu, cioè procedere come quando calcoli il limite di una funzione: prima determini l'insieme di definizione e poi, se è il caso, fai il limite mantenendoti "dentro" tale insieme.
L'insieme di definizione della tua successione è l'insieme [tex]$D$[/tex] dei naturali dispari (sempre che il tuo docente concordi con me che [tex]$x^\frac{1}{n} =\sqrt[n]{x}$[/tex]), il quale non è limitato superiormente, ergo puoi pensare di fare il limite per [tex]$n\to +\infty$[/tex] con [tex]$n\in D$[/tex]; hai:
[tex]$\lim_{\stackrel{n\to +\infty}{n\in D}} (-2)^\frac{1}{n} =\lim_{h\to +\infty} (-2)^\frac{1}{2h+1} =\lim_{h\to +\infty} -(2^\frac{1}{2h+1}) =-1$[/tex].
Credo che, in questo caso, la cosa migliore da fare sia come hai fatto tu, cioè procedere come quando calcoli il limite di una funzione: prima determini l'insieme di definizione e poi, se è il caso, fai il limite mantenendoti "dentro" tale insieme.
L'insieme di definizione della tua successione è l'insieme [tex]$D$[/tex] dei naturali dispari (sempre che il tuo docente concordi con me che [tex]$x^\frac{1}{n} =\sqrt[n]{x}$[/tex]), il quale non è limitato superiormente, ergo puoi pensare di fare il limite per [tex]$n\to +\infty$[/tex] con [tex]$n\in D$[/tex]; hai:
[tex]$\lim_{\stackrel{n\to +\infty}{n\in D}} (-2)^\frac{1}{n} =\lim_{h\to +\infty} (-2)^\frac{1}{2h+1} =\lim_{h\to +\infty} -(2^\frac{1}{2h+1}) =-1$[/tex].
Ragionevole 
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