Successione: $a_n=n^3(e^(1/(n^2-2n+3))-1)$.
Buonasera a tutti.
Rieccomi qui, nuovamente alle prese con un esercizio tratto dagli scritti di Analisi I dello scorso aa, dal mio ateneo.
Problema. Si consideri la successione di numeri reali $a_n$ così definita:
$a_n=n^3(e^(1/(n^2-2n+3))-1)$.
1. Si trovi $lim_(n to + oo) a_n$.
2. Si dica se la successione è limitata superiormente e/o inferiormente e si determinino il sup e l'inf specificando se sono max e/o min.
Risoluzione mia.
1. Per calcolare il limite procedo in questo modo: anzitutto, noto che per $n->+oo$ ho che $1/(n^2-2n+3)=1/n^2+o(1/n^2)$. Congetturo quindi che $e^(1/(n^2-2n+3)) sim e^(1/(n^2))$ in un intorno di $+oo$. Preciso che tale congettura è rischiosa, giacchè non sempre gli esponenziali mantengono le eguaglianze asintotiche; siccome un po' di pignoleria non fa mai male
verifico che effettivamente $e^(1/(n^2-2n+3)) sim e^(1/(n^2))$ passando dalla definizione.
Considero $lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3))/e^(1/(n^2))$. Se mostro che detto limite viene $1$ sono a posto e posso applicare la stima asintotica. Ma si ha proprio
$lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3))/e^(1/(n^2))=lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3)-1/n^2)=lim_(n to + oo) e^((2n-3)/(n^2(n^2-2n+3)))=e^0=1$.
Perciò, posso riscrivere il $lim_(n to + oo) a_n$ come $lim_(n to + oo) (e^(1/(n^2))-1)/(1/n^3)$. Facendo un rapido cambio di variabile si porta il limite sotto questa veste:
$lim_(t to 0^+) (e^t-1)/t *1/sqrt t=+oo$, ricordando il limite notevole.
Dunque, rispondo al punto 1) dicendo che la successione diverge positivamente: $lim_(n to + oo) a_n=+oo$.
2. La successione è evidentemente illimitata superiormente (l'abbiamo appena mostrato): dunque, $"sup " a_n=+oo$.
E' invece limitata inferiormente: infatti, $forall n>=0$ si ha $n^3>=0$. E inoltre,
$e^(1/(n^2-2n+3))-1>=0 iff e^(1/(n^2-2n+3))>=e^0 iff 1/(n^2-2n+3)>=0$ che è vera $forall n in NN$.
In definitiva, i termini della successione sono tutti non negativi, cioè $0$ è un minorante degli $a_n$. Visto che $a_0$ è proprio $0$ concludo che $min a_n=0$.
Posso chiedervi gentilmente se avete correzioni o proposte in merito? Vi pare corretto ciò che ho fatto?
Confesso (sperando di non sembrare superbo) che mi pare un po' troppo semplice come esercizio: ben venga, per carità, ma non vorrei essermi perso qualche pezzo grosso per strada.
Che dite? Vi ringrazio per l'aiuto, come al solito.
P.S. Lavorando su quest'esercizio, comunque, ho trovato una piccola generalizzazione di un fatto: mi confermate che $forall m>1, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$?
Grazie.
Rieccomi qui, nuovamente alle prese con un esercizio tratto dagli scritti di Analisi I dello scorso aa, dal mio ateneo.
Problema. Si consideri la successione di numeri reali $a_n$ così definita:
$a_n=n^3(e^(1/(n^2-2n+3))-1)$.
1. Si trovi $lim_(n to + oo) a_n$.
2. Si dica se la successione è limitata superiormente e/o inferiormente e si determinino il sup e l'inf specificando se sono max e/o min.
Risoluzione mia.
1. Per calcolare il limite procedo in questo modo: anzitutto, noto che per $n->+oo$ ho che $1/(n^2-2n+3)=1/n^2+o(1/n^2)$. Congetturo quindi che $e^(1/(n^2-2n+3)) sim e^(1/(n^2))$ in un intorno di $+oo$. Preciso che tale congettura è rischiosa, giacchè non sempre gli esponenziali mantengono le eguaglianze asintotiche; siccome un po' di pignoleria non fa mai male
verifico che effettivamente $e^(1/(n^2-2n+3)) sim e^(1/(n^2))$ passando dalla definizione.Considero $lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3))/e^(1/(n^2))$. Se mostro che detto limite viene $1$ sono a posto e posso applicare la stima asintotica. Ma si ha proprio
$lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3))/e^(1/(n^2))=lim_(n to + oo) e^(1/(n^2-2n+3)-1/n^2)=lim_(n to + oo) e^((2n-3)/(n^2(n^2-2n+3)))=e^0=1$.
Perciò, posso riscrivere il $lim_(n to + oo) a_n$ come $lim_(n to + oo) (e^(1/(n^2))-1)/(1/n^3)$. Facendo un rapido cambio di variabile si porta il limite sotto questa veste:
$lim_(t to 0^+) (e^t-1)/t *1/sqrt t=+oo$, ricordando il limite notevole.
Dunque, rispondo al punto 1) dicendo che la successione diverge positivamente: $lim_(n to + oo) a_n=+oo$.
2. La successione è evidentemente illimitata superiormente (l'abbiamo appena mostrato): dunque, $"sup " a_n=+oo$.
E' invece limitata inferiormente: infatti, $forall n>=0$ si ha $n^3>=0$. E inoltre,
$e^(1/(n^2-2n+3))-1>=0 iff e^(1/(n^2-2n+3))>=e^0 iff 1/(n^2-2n+3)>=0$ che è vera $forall n in NN$.
In definitiva, i termini della successione sono tutti non negativi, cioè $0$ è un minorante degli $a_n$. Visto che $a_0$ è proprio $0$ concludo che $min a_n=0$.
Posso chiedervi gentilmente se avete correzioni o proposte in merito? Vi pare corretto ciò che ho fatto?
Confesso (sperando di non sembrare superbo) che mi pare un po' troppo semplice come esercizio: ben venga, per carità, ma non vorrei essermi perso qualche pezzo grosso per strada.
Che dite? Vi ringrazio per l'aiuto, come al solito.
P.S. Lavorando su quest'esercizio, comunque, ho trovato una piccola generalizzazione di un fatto: mi confermate che $forall m>1, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$?
Grazie.
Risposte
Ciao!
Piuttosto che prendere la strada "rischiosa", anche se alla fine ne sei venuto fuori, io avrei immediatamente messo la quantità
[tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] al posto di [tex]$e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1$[/tex]
proprio perché come dici anche tu
[tex]$e^t-1\approx t$[/tex] se [tex]$t\to 0$[/tex] e sto prendendo [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] come mio [tex]$t$[/tex]
A quel punto una volta ottenuto
[tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{n^3}{n^2-2n+3}$[/tex] direi che c'è poco da dire
Non vorrei perdermi qualcosa, ma perché escludi [tex]$m=1$[/tex]?
Notte
Piuttosto che prendere la strada "rischiosa", anche se alla fine ne sei venuto fuori, io avrei immediatamente messo la quantità
[tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] al posto di [tex]$e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1$[/tex]
proprio perché come dici anche tu
[tex]$e^t-1\approx t$[/tex] se [tex]$t\to 0$[/tex] e sto prendendo [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] come mio [tex]$t$[/tex]
A quel punto una volta ottenuto
[tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{n^3}{n^2-2n+3}$[/tex] direi che c'è poco da dire
"Paolo90":
Lavorando su quest'esercizio, comunque, ho trovato una piccola generalizzazione di un fatto: mi confermate che $forall m>1, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$?
Non vorrei perdermi qualcosa, ma perché escludi [tex]$m=1$[/tex]?
Notte
Ciao Steven,
anzitutto grazie mille per la risposta.
Verissimo, non so perchè non mi è venuto in mente: era molto più breve e molto più elegante. Grazie.
Resta comunque il fatto che - secondo me
- l'esercizio veniva molto più figo mettendoci un bel $n^2$ davanti (almeno la successione convergeva a $1$).
Carissimo, sono io che mi perdo qualcosa tranquillo . Ovviamente va bene pure $m=1$ ma penso anche $m=0$. In definitiva dovrebbe essere
$forall m>=0, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$.
Che ne dici ora? Ti ringrazio molto per il tuo aiuto.
Ciao!
anzitutto grazie mille per la risposta.
"Steven":
Ciao!
Piuttosto che prendere la strada "rischiosa", anche se alla fine ne sei venuto fuori, io avrei immediatamente messo la quantità
[tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] al posto di [tex]$e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1$[/tex]
proprio perché come dici anche tu
[tex]$e^t-1\approx t$[/tex] se [tex]$t\to 0$[/tex] e sto prendendo [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}$[/tex] come mio [tex]$t$[/tex]
Verissimo, non so perchè non mi è venuto in mente: era molto più breve e molto più elegante. Grazie.
Resta comunque il fatto che - secondo me
- l'esercizio veniva molto più figo mettendoci un bel $n^2$ davanti (almeno la successione convergeva a $1$)."Paolo90":
Lavorando su quest'esercizio, comunque, ho trovato una piccola generalizzazione di un fatto: mi confermate che $forall m>1, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$?
Non vorrei perdermi qualcosa, ma perché escludi [tex]$m=1$[/tex]?
Carissimo, sono io che mi perdo qualcosa tranquillo
. Ovviamente va bene pure $m=1$ ma penso anche $m=0$. In definitiva dovrebbe essere $forall m>=0, forall n>0$ vale $lim_(x to 0^+) x^m e^(1/(x)^(n))=+oo$.
Che ne dici ora? Ti ringrazio molto per il tuo aiuto.
Ciao!
E con gli [tex]$m<0$[/tex] che succede?
Ad ogni modo, l'esercizio (a parte la strada rischiosa, che non avrei mai imboccato; preferisco i limiti notevoli quando non debbo necessariamente farne a meno) è svolto bene.
Per quanto riguarda la limitatezza dal basso, bastava osservare che [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] (in quanto ogni successione positivamente divergente è necessariamente limitata inferiormente). Tuttavia sei riuscito a determinare un minorante, quindi va benissimo come hai svolto il secondo punto.
Giusto per curiosità, come avresti fatto a determinare un minorante se, all'uso degli Algebristi, avessi dovuto considerare [tex]$0\notin \mathbb{N}$[/tex]?
Ad ogni modo, l'esercizio (a parte la strada rischiosa, che non avrei mai imboccato; preferisco i limiti notevoli quando non debbo necessariamente farne a meno) è svolto bene.
Per quanto riguarda la limitatezza dal basso, bastava osservare che [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] (in quanto ogni successione positivamente divergente è necessariamente limitata inferiormente). Tuttavia sei riuscito a determinare un minorante, quindi va benissimo come hai svolto il secondo punto.
Giusto per curiosità, come avresti fatto a determinare un minorante se, all'uso degli Algebristi, avessi dovuto considerare [tex]$0\notin \mathbb{N}$[/tex]?
"Gugo82":
E con gli [tex]$m<0$[/tex] che succede?
Grazie Gugo, hai ragione, la sostanza non cambia viene sempre $+oo$ direttamente (lo si trova subito perchè non è una forma indeterminata).
"Gugo82":
Ad ogni modo, l'esercizio (a parte la strada rischiosa, che non avrei mai imboccato; preferisco i limiti notevoli quando non debbo necessariamente farne a meno) è svolto bene.
Grazie. Evvai
. Comunque mi dispiace aver preso questa strada rischiosa, neanche a me piace molto, con i limiti notevoli viene subito. Si vede che sto studiando troppo Taylor "Gugo82":
Per quanto riguarda la limitatezza dal basso, bastava osservare che [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] (in quanto ogni successione positivamente divergente è necessariamente limitata inferiormente).
Caspita, è vero, ma non ci avevo mai fatto caso (perdonami
). Dimmi se sbaglio: dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di limite. Proprietà. : Sia $(a_n)$ una successione tale che $lim_(n to +oo) a_n=+oo$. Allora, $(a_n)$ è limitata inferiormente, cioè $exists k " tale che " k<=a_n " " forall n in NN$.
Proof. Per assurdo, sia $forall k$ $k>a_n$.
Dalla definizione di limite però si ha che $forall M>0 " " exists n_0 in NN " tale che " n>n_0 => a_n>M$.
Le due condizioni sono evidentemente incompatibili, perchè comunque io scelga $k$, per $n$ abbastanza grande, i termini della successione superano $k$. []
Probabilmente ho fatto un giro assurdo per una cosetta da nulla, però che ne dici? GRAZIE.
"Gugo82":
Giusto per curiosità, come avresti fatto a determinare un minorante se, all'uso degli Algebristi, avessi dovuto considerare [tex]$0\notin \mathbb{N}$[/tex]?
Ehm, bella domanda! Tu intendi: supponiamo che la successione parta da $n=1$: come fare a trovare un minorante?
Se devo dirla così di brutto tenterei queste due strade:
1. far vedere che la successione è monotona crescente (penso per induzione);
2. (più analitico) prendo la funzione $f:[1,+oo)->RR$ dove $f(x)=x^3(e^(1/(x^2-2x+3))-1)$; ne trovo la derivata prima e osservo che è sempre positiva: quindi $f$ cresce sempre: stessa solfa di prima.
In poche parole troverei che il minimo della successione $a_n$ (con $n in NN-{0}$) è $a_1$.
Corretto?
Ti ringrazio molto per il tuo aiuto.
GRAZIE di tutto.
"Paolo90":
Ehm, bella domanda! Tu intendi: supponiamo che la successione parta da n=1: come fare a trovare un minorante?
Se devo dirla così di brutto tenterei queste due strade:
No, forse stai confondendo minorante con minimo.
Se anche decidi di partire da [tex]$n=1$[/tex], lo [tex]$0$[/tex] resta comunque un minorante della successione.
Infatti proprio tu prima hai verificato che la successione è a termini non negativi. Togliendo un termine della successione non fai nulla.
Non so ora se Gugo82 voleva dire "minimo" invece di minorante, o lo ha detto per sgambettarti.
Attendiamo che ci illumini.
Ah, sì, giusto.
Chissà perchè, ma pur leggendo minorante sono andato a cercarmi il massimo dei minoranti... Sì, ovviamente hai ragione: certo, lo $0$ come pure qualsiasi altro numero negativo sono minoranti per $(a_n)$: infatti, se parto da $n=1$, la successione è a termini strettamente positivi.
Una curiosità: nel caso in cui Gugo intendesse minimo ho ragionato bene?
GRAZIE
Chissà perchè, ma pur leggendo minorante sono andato a cercarmi il massimo dei minoranti... Sì, ovviamente hai ragione: certo, lo $0$ come pure qualsiasi altro numero negativo sono minoranti per $(a_n)$: infatti, se parto da $n=1$, la successione è a termini strettamente positivi.
Una curiosità: nel caso in cui Gugo intendesse minimo ho ragionato bene?
GRAZIE
"Paolo90":
Una curiosità: nel caso in cui Gugo intendesse minimo ho ragionato bene?
Sì, la successione risulta effettivamente crescente.
Quei due modi vanno più che bene, altri più elementari e con meno conti non ne vedo, almeno adesso.
@ Steven e Paolo90: Effettivamente con "un minorante" intendevo "un minorante migliore (ossia meno banale) di [tex]$0$[/tex]".
Mea culpa, dovevo spiegarmi meglio.
Poi, trovare il minimo è un po' troppo calcoloso (per i miei gusti), quindi non sarei mai stato così cattivo!
@ Paolo90: Io l'avevo pensata più nelle tue corde, ossia usando Taylor per semplificare.
Infatti per [tex]$x\geq 0$[/tex] puoi scrivere [tex]$e^x-1=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \geq x$[/tex] sicché, visto che [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}=\frac{1}{(n-1)^2+2}\geq 0$[/tex], trovi:
[tex]$n^3 \left(e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1\right) \geq \frac{n^3}{n^2-2n+3}$[/tex]
e la funzione a secondo membro è str. crescente (si può vedere pensandola come funzione di [tex]$x\geq 1$[/tex] e derivando); quindi un minorante è sicuramente:
[tex]$\frac{n^3}{n^2-2n+3}\Big|_{n=1}=\frac{1}{2}$[/tex].
Inoltre:
Caspita, è vero, ma non ci avevo mai fatto caso (perdonami ). Dimmi se sbaglio: dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di limite.
Proprietà. : Sia $(a_n)$ una successione tale che $lim_(n to +oo) a_n=+oo$. Allora, $(a_n)$ è limitata inferiormente, cioè $exists k " tale che " k<=a_n " " forall n in NN$.
Proof. Per assurdo, sia $forall k$ $k>a_n$.
Dalla definizione di limite però si ha che $forall M>0 " " exists n_0 in NN " tale che " n>n_0 => a_n>M$.
Le due condizioni sono evidentemente incompatibili, perchè comunque io scelga $k$, per $n$ abbastanza grande, i termini della successione superano $k$. []
Probabilmente ho fatto un giro assurdo per una cosetta da nulla, però che ne dici? GRAZIE. [/quote]
Effettivamente la prendi troppo alla larga.
Se [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] allora (definizione di limite) in corrispondenza di [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex] si ha [tex]$a_n>1$[/tex]; puoi allora porre
[tex]$L:=\begin{cases} 1 & \text{, se $\nu=0$}\\ \min \{ a_0,\ldots , a_{\nu -1}\} & \text{, se $\nu \geq 1$}\end{cases}$[/tex]
ed avere il tuo bel minorante. [tex]$\square$[/tex]
P.S.: [] VS [tex]$\square$[/tex]: vinco io.
Mea culpa, dovevo spiegarmi meglio.
Poi, trovare il minimo è un po' troppo calcoloso (per i miei gusti), quindi non sarei mai stato così cattivo!
@ Paolo90: Io l'avevo pensata più nelle tue corde, ossia usando Taylor per semplificare.
Infatti per [tex]$x\geq 0$[/tex] puoi scrivere [tex]$e^x-1=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \geq x$[/tex] sicché, visto che [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}=\frac{1}{(n-1)^2+2}\geq 0$[/tex], trovi:
[tex]$n^3 \left(e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1\right) \geq \frac{n^3}{n^2-2n+3}$[/tex]
e la funzione a secondo membro è str. crescente (si può vedere pensandola come funzione di [tex]$x\geq 1$[/tex] e derivando); quindi un minorante è sicuramente:
[tex]$\frac{n^3}{n^2-2n+3}\Big|_{n=1}=\frac{1}{2}$[/tex].
Inoltre:
"Paolo90":
[quote="Gugo82"]
Per quanto riguarda la limitatezza dal basso, bastava osservare che [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] (in quanto ogni successione positivamente divergente è necessariamente limitata inferiormente).
Caspita, è vero, ma non ci avevo mai fatto caso (perdonami
). Dimmi se sbaglio: dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di limite. Proprietà. : Sia $(a_n)$ una successione tale che $lim_(n to +oo) a_n=+oo$. Allora, $(a_n)$ è limitata inferiormente, cioè $exists k " tale che " k<=a_n " " forall n in NN$.
Proof. Per assurdo, sia $forall k$ $k>a_n$.
Dalla definizione di limite però si ha che $forall M>0 " " exists n_0 in NN " tale che " n>n_0 => a_n>M$.
Le due condizioni sono evidentemente incompatibili, perchè comunque io scelga $k$, per $n$ abbastanza grande, i termini della successione superano $k$. []
Probabilmente ho fatto un giro assurdo per una cosetta da nulla, però che ne dici? GRAZIE. [/quote]
Effettivamente la prendi troppo alla larga.
Se [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] allora (definizione di limite) in corrispondenza di [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex] si ha [tex]$a_n>1$[/tex]; puoi allora porre
[tex]$L:=\begin{cases} 1 & \text{, se $\nu=0$}\\ \min \{ a_0,\ldots , a_{\nu -1}\} & \text{, se $\nu \geq 1$}\end{cases}$[/tex]
ed avere il tuo bel minorante. [tex]$\square$[/tex]
P.S.: [] VS [tex]$\square$[/tex]: vinco io.
"Gugo82":
@ Steven e Paolo90: Effettivamente con "un minorante" intendevo "un minorante migliore (ossia meno banale) di [tex]$0$[/tex]".
Mea culpa, dovevo spiegarmi meglio.
Poi, trovare il minimo è un po' troppo calcoloso (per i miei gusti), quindi non sarei mai stato così cattivo!
@ Paolo90: Io l'avevo pensata più nelle tue corde, ossia usando Taylor per semplificare.
Infatti per [tex]$x\geq 0$[/tex] puoi scrivere [tex]$e^x-1=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \geq x$[/tex] sicché, visto che [tex]$\frac{1}{n^2-2n+3}=\frac{1}{(n-1)^2+2}\geq 0$[/tex], trovi:
[tex]$n^3 \left(e^{\frac{1}{n^2-2n+3}}-1\right) \geq \frac{n^3}{n^2-2n+3}$[/tex]
e la funzione a secondo membro è str. crescente (si può vedere pensandola come funzione di [tex]$x\geq 1$[/tex] e derivando); quindi un minorante è sicuramente:
[tex]$\frac{n^3}{n^2-2n+3}\Big|_{n=1}=\frac{1}{2}$[/tex].
Ah, sì, ho capito. Taylor ha abbastanza il dono dell'ubiquità a quanto pare
.In pratica hai usato la disuguaglianza (che si può dimostrare facilmente comunque con Taylor, sempre lui)
$e^x>=1+x$ valida $forall x in RR$ (basta guardare i grafici per convincersene: comunque se applichi Taylor-Lagrange è un attimo dimostrarlo).
Bene, grazie allora, mi avete insegnato un'altra bella cosa. Vi ringrazio.
"Gugo82":
[quote="Paolo90"][quote="Gugo82"]
Per quanto riguarda la limitatezza dal basso, bastava osservare che [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] (in quanto ogni successione positivamente divergente è necessariamente limitata inferiormente).
Caspita, è vero, ma non ci avevo mai fatto caso (perdonami
). Dimmi se sbaglio: dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di limite. Proprietà. : Sia $(a_n)$ una successione tale che $lim_(n to +oo) a_n=+oo$. Allora, $(a_n)$ è limitata inferiormente, cioè $exists k " tale che " k<=a_n " " forall n in NN$.
Proof. Per assurdo, sia $forall k$ $k>a_n$.
Dalla definizione di limite però si ha che $forall M>0 " " exists n_0 in NN " tale che " n>n_0 => a_n>M$.
Le due condizioni sono evidentemente incompatibili, perchè comunque io scelga $k$, per $n$ abbastanza grande, i termini della successione superano $k$. []
Probabilmente ho fatto un giro assurdo per una cosetta da nulla, però che ne dici? GRAZIE. [/quote]
Effettivamente la prendi troppo alla larga.
Se [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] allora (definizione di limite) in corrispondenza di [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex] si ha [tex]$a_n>1$[/tex]; puoi allora porre
[tex]$L:=\begin{cases} 1 & \text{, se $\nu=0$}\\ \min \{ a_0,\ldots , a_{\nu -1}\} & \text{, se $\nu \geq 1$}\end{cases}$[/tex]
ed avere il tuo bel minorante. [tex]$\square$[/tex]
[/quote]
Sì, ho capito anche qui che cosa intendi. In pratica, tu dici: "prima o poi" gli $a_n$ diventano più grandi di $1$, visto che la successione diverge; se sono tutti maggiori di $1$ (da $0$ in poi) allora evidentemente $1$ è un minorante; se invece gli $a_n$ superano $1$ dopo un certo $nu$, allora basta che prendo come minorante il minimo degli $a_n$ (con $n$ che varia da $0$ e $nu$).
In ogni caso, ho trovato un minorante per cui la successione è effettivamente limitata inferiormente.
Ho capito (almeno mi pare) ma ti confesso che non mi sarebbe mai venuto in mente... e dire che comunque l'idea non è così difficile...
Ti ringrazio molto, come al solito, davvero.
"Gugo82":
P.S.: [] VS [tex]$\square$[/tex]: vinco io.
Uffiiiiiiii. Nonègiusto. Sigh sigh...
Grazie ancora di tutto.
"Paolo90":
Ah, sì, ho capito. Taylor ha abbastanza il dono dell'ubiquità a quanto pare
In pratica hai usato la disuguaglianza (che si può dimostrare facilmente comunque con Taylor, sempre lui)
$e^x>=1+x$ valida $forall x in RR$ (basta guardare i grafici per convincersene: comunque se applichi Taylor-Lagrange è un attimo dimostrarlo).
In realtà quella disuguaglianza si può dimostrare in 18057 modi diversi...
Ad esempio, un esercizio carino potrebbe essere "dimostrare [tex]$e^x\geq 1+x$[/tex] sfruttando un po' di risultati di Calcolo Integrale".
"Paolo90":
[quote="Gugo82"]Effettivamente la prendi troppo alla larga.
Se [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] allora (definizione di limite) in corrispondenza di [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex] si ha [tex]$a_n>1$[/tex]; puoi allora porre
[tex]$L:=\begin{cases} 1 & \text{, se $\nu=0$}\\ \min \{ a_0,\ldots , a_{\nu -1}\} & \text{, se $\nu \geq 1$}\end{cases}$[/tex]
ed avere il tuo bel minorante. [tex]$\square$[/tex]
Sì, ho capito anche qui che cosa intendi. In pratica, tu dici: "prima o poi" gli $a_n$ diventano più grandi di $1$, visto che la successione diverge; se sono tutti maggiori di $1$ (da $0$ in poi) allora evidentemente $1$ è un minorante; se invece gli $a_n$ superano $1$ dopo un certo $nu$, allora basta che prendo come minorante il minimo degli $a_n$ (con $n$ che varia da $0$ e $nu$).
In ogni caso, ho trovato un minorante per cui la successione è effettivamente limitata inferiormente.
Ho capito (almeno mi pare) ma ti confesso che non mi sarebbe mai venuto in mente... e dire che comunque l'idea non è così difficile...[/quote]
Esatto; e per far funzionare tutto è fondamentale la finitezza dell'insieme [tex]$\{ a_0,\ldots ,a_\nu\}$[/tex].
"Paolo90":
Ti ringrazio molto, come al solito, davvero.
[quote="Gugo82"]
P.S.: [] VS [tex]$\square$[/tex]: vinco io.
Uffiiiiiiii. Nonègiusto. Sigh sigh...
[/quote]Prego.
Perfetto, grazie ancora.
Proverò a dimostrare la celeberrima disuguaglianza passando anche attraverso il calcolo integrale. Magari aprirò un altro post per confrontarmi con gli altri. Ti ringrazio molto per l'aiuto.
Proverò a dimostrare la celeberrima disuguaglianza passando anche attraverso il calcolo integrale. Magari aprirò un altro post per confrontarmi con gli altri. Ti ringrazio molto per l'aiuto.
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