Successione ${a_(n,m)}$
Ciao a tutti... Avrei bisogno di un aiuto su un dubbio che ho..
Se ho una successione in due variabili.. del tipo una funzione $a_(n,m)= f(n,m)$
Volendo fare considerazioni su
$\sum_{n,m}a_(n,m)$ come posso procedere??
Cioè.. nel senso.. ho sul libro che se ${a_(n,m)}$ è a termini non negativi, allora
$\sum_{n,m}a_(n,m)=\sum_{n}(\sum_{m}a_(n,m))=\sum_{m}(\sum_{n}a_(n,m))$
Ma.. perchè?? Come ci posso arrivare??
Se ho una successione in due variabili.. del tipo una funzione $a_(n,m)= f(n,m)$
Volendo fare considerazioni su
$\sum_{n,m}a_(n,m)$ come posso procedere??
Cioè.. nel senso.. ho sul libro che se ${a_(n,m)}$ è a termini non negativi, allora
$\sum_{n,m}a_(n,m)=\sum_{n}(\sum_{m}a_(n,m))=\sum_{m}(\sum_{n}a_(n,m))$
Ma.. perchè?? Come ci posso arrivare??
Risposte
Ricordo che feci questa domanda qualche anno fa. Trovo il post!
Eh, questo è un esercizio interessante (e non banale). Una soluzione passa dal considerare la serie più interna come integrale di Lebesgue e applicare il teorema della convergenza monotona. Ma ci sono metodi più elementari, trovi informazioni sul Rudin Principi di analisi matematica (edizione italiana), teorema 8.3 pagina 174.
Chiedo aiuto ai moderatori. Ricordo che feci questa domanda, precisamente 2 anni fa, 1° semestre. Insomma, dovevo risolvere un esercizio del prof.. e Gugo scrisse tutta una completa risposta (mi ricordo che a suo tempo mi spaventai per la lunghezza). E soprattutto non usava teoremi di convergenza monotona o dominata, era interessante. Però non riesco a trovarla. C'è un modo intelligente di cercarla? Forse si e io non lo conosco..
prova a guardare tra i messaggi scritti da te, intorno penso al messaggio 400... non è un metodo molto furbo, però se non ti ricordi esattamente il titolo la funzione cerca potrebbe far cilecca...
"dissonance":
E' questo?
https://www.matematicamente.it/forum/ser ... 25918.html
Great! come hai fatto!
Niente di particolare: ho messo la stringa "Gugo82" nel campo "cerca per autore" e la "Gaal AND serie doppi*" nel campo "cerca per parole chiave".
ah, ecco. Anche io l'avevo fatto..ma la stringa non era quella giusta.
Touchè
Touchè
Ho dato un'occhiata al thread citato e mi pare che per la domanda iniziale la risposta di dissonance sia quella piu' semplice, e anche di non difficile dimostrabilita' (anche senza parlare di integrali)
usando opportunamente la nozione di sup. Mi sembra istruttivo ricordarla - in realta' non ho proprio letto tutto il post di Gugo (
) per cui chiedo scusa se ripeto cose gia' dette.
Poniamo $S_{k,h}:=\sum_{n=0}^k\sum_{m=0}^h a_{n,m}$ e DEFINIAMO $S:="sup"_{k,h}S_{k,h}$ (che e' il modo piu' semplice di definire la somma $\sum_{n,m}a_{n,m}$ di tutti gli $a_{n,m}$, nel caso siano non negativi).
Allora
1) fissati $k'$ e $h'$ si ha $S_{k',h'}\leq"sup"_{h}S_{k,h}\leq"sup"_{k}"sup"_hS_{k,h}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}$, da cui $S\leq \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}$.
2) fissati $k$ e $h$ si ha $S_{k,h}\leq S$; allora $"sup"_h S_{k,h}\leq S$; allora $"sup"_k"sup"_h S_{k,h}\leq S$, cioe' $\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}\leq S$.
Se ne deduce che $\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}=S$ - in maniera analoga si ha $\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{n,m}=S$ da cui l'equaglianza richiesta - nota che
in questi discorsi $S$ piu' benissimo essere $+\infty$.
A questo punto si potrebbe anche generalizzare la risposta dicendo che $a_{n,m}$ e' assolutamente sommabile se $\sum_{n,m}|a_{n,m}|<+\infty$ e che in questo caso si definisce
$ \sum_{n,m}a_{n,m}:= \sum_{n,m}a_{n,m}^+ - \sum_{n,m}a_{n,m}^-$ - si puo' dimostrare che anche in ipotesi di assoluta sommabilita' la somma complessiva e la somma delle somme coindicono.
Non sara' sfuggito che queste definizioni sono quelle della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (per cui integrabilita' e integrabilita' assoluta coincidono) - non mi voglio impelagare in questioni
piu' sottili di convergenza incondizionata.
Il risultato sopra e' il teorema di Fubini-Tonelli sulla misura prodotto (Tonelli per la precisione, nel caso di $a_{n,m}\geq0$)
usando opportunamente la nozione di sup. Mi sembra istruttivo ricordarla - in realta' non ho proprio letto tutto il post di Gugo (
) per cui chiedo scusa se ripeto cose gia' dette.Poniamo $S_{k,h}:=\sum_{n=0}^k\sum_{m=0}^h a_{n,m}$ e DEFINIAMO $S:="sup"_{k,h}S_{k,h}$ (che e' il modo piu' semplice di definire la somma $\sum_{n,m}a_{n,m}$ di tutti gli $a_{n,m}$, nel caso siano non negativi).
Allora
1) fissati $k'$ e $h'$ si ha $S_{k',h'}\leq"sup"_{h}S_{k,h}\leq"sup"_{k}"sup"_hS_{k,h}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}$, da cui $S\leq \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}$.
2) fissati $k$ e $h$ si ha $S_{k,h}\leq S$; allora $"sup"_h S_{k,h}\leq S$; allora $"sup"_k"sup"_h S_{k,h}\leq S$, cioe' $\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}\leq S$.
Se ne deduce che $\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}=S$ - in maniera analoga si ha $\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{n,m}=S$ da cui l'equaglianza richiesta - nota che
in questi discorsi $S$ piu' benissimo essere $+\infty$.
A questo punto si potrebbe anche generalizzare la risposta dicendo che $a_{n,m}$ e' assolutamente sommabile se $\sum_{n,m}|a_{n,m}|<+\infty$ e che in questo caso si definisce
$ \sum_{n,m}a_{n,m}:= \sum_{n,m}a_{n,m}^+ - \sum_{n,m}a_{n,m}^-$ - si puo' dimostrare che anche in ipotesi di assoluta sommabilita' la somma complessiva e la somma delle somme coindicono.
Non sara' sfuggito che queste definizioni sono quelle della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (per cui integrabilita' e integrabilita' assoluta coincidono) - non mi voglio impelagare in questioni
piu' sottili di convergenza incondizionata.
Il risultato sopra e' il teorema di Fubini-Tonelli sulla misura prodotto (Tonelli per la precisione, nel caso di $a_{n,m}\geq0$)
[OT]
In realtà so di essere anche troppo prolisso a volte... È un mio difetto che devo cercare di limare.
[/OT]
"ViciousGoblin":
in realta' non ho proprio letto tutto il post di Gugo (
In realtà so di essere anche troppo prolisso a volte... È un mio difetto che devo cercare di limare.
[/OT]
aaa.. ho avuto problemi con internet.. e non immaginaco di trovare tutte queste risposte.. siete grandi!!
in effetti... il mio "problema" è studiare il teorema di Tonelli Fubini in N x N con la misura del conteggio.. e ... quindi.. mi ritrovo a una doppia serie...
in effetti... il mio "problema" è studiare il teorema di Tonelli Fubini in N x N con la misura del conteggio.. e ... quindi.. mi ritrovo a una doppia serie...
in generale come è definito il limite di una successione con più indici?
Come al solito, solo con più indici... 
Presa una successione (per comodità) doppia $(a_(n,m))$ si dice che $lim_(n,m) a_(n,m)=l \in \hat(RR)$ se e solo se:
$AA U(l) " intorno di " l, exists nu\in NN:\ AA n,m>nu,\ a_(n,m) \in U(l)$
Distinguendo i casi in cui $l$ è al finito o $l=+- oo$, si possono dare le solite definizioni $epsilon-delta$, ma non mi pare il caso di specificare quali esse siano (basta mettere penna su carta e dedurle da quella scritta sopra).
Presa una successione (per comodità) doppia $(a_(n,m))$ si dice che $lim_(n,m) a_(n,m)=l \in \hat(RR)$ se e solo se:
$AA U(l) " intorno di " l, exists nu\in NN:\ AA n,m>nu,\ a_(n,m) \in U(l)$
Distinguendo i casi in cui $l$ è al finito o $l=+- oo$, si possono dare le solite definizioni $epsilon-delta$, ma non mi pare il caso di specificare quali esse siano (basta mettere penna su carta e dedurle da quella scritta sopra).
si non è il caso di specificare
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