Successione

[Ziko1]

Come risolvo questa successione? Non riesco a trovare la giusta strada:

$lim_(n->infty) n[1-(1-2/n)^5]$

Grazie!

[_luca.barletta]

Puoi considerare l'asintotico
$(1-2/n)^5~1-5*2/n$ per $n->infty$

[fireball1]

Puoi usare lo sviluppo di MacLaurin al primo ordine:
$(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per $x->0$
per ogni $a in RR$.
In questo caso $x=-2/n$, $a=5$ e $n->+oo$,
per cui dato che $-2/n->0$ si può usare lo sviluppo e si ottiene:
$(1-2/n)^5=1-10/n+o(1/n)$ per $n->+oo$
quindi $1-(1-2/n)^5=10/n+o(1/n)$ per $n->+oo$
il che vuol dire che $1-(1-2/n)^5$ è asintotico a $10/n$.
Allora il limite è uguale a:
$lim_(n->+oo) n*(10/n) = 10

[giuseppe87x]

...oppure puoi utilizzare il limite notevole
$lim_(nto infty)((1+a_(n))^(alpha)-1)/a_(n)=alpha$ dove $a_(n)$ è una successione infinitesima.

[Ziko1]

Grazie delle risposte, ne approfitto per proporre altri 2 esercizzi senza aprire un nuovo thread.

$lim_(n->infty) (sqrt(n)+1)/(ln(n+1))$

e

$lim_(n->infty) (n^(sqrt(n))/(3^n))$

Inoltre, ho notato che faccio molta fatica ad entrare nell'ottica di tutti gli esercizzi, non riesco a vedere la strada giuusta da prendere, c'è qualche buon consiglio che posso seguire? Per adesso ne sto facendo una marea!

Grazie!

[_luca.barletta]

il primo è una forma d'indecisione che si risolve subito notando che l'infinito del logaritmo è più debole di ogni potenza di n

[_luca.barletta]

$lim_(n->infty) (n^(sqrt(n))/(3^n))=lim_(n->infty)e^(sqrt(n)·log(n) - n·log3)=...$

[Ziko1]

Ma una volta raggiunto questo punto non è comunque un caso di indecisione?

[_luca.barletta]

ti faccio un altro passaggio:

$lim_(n->infty)e^(sqrt(n)·log(n) - n·log3)=lim_(n->infty) e^(n(log(n)/sqrt(n)-log3))$

ora è palese

[Ziko1]

Ok, adesso dovrebbe essere che:

con $n->infty (ln(n))/(sqrt(n))$ tende a 0.

Mi rimane $lim _(n->infty) e^(-n*ln(3))$ che tende a 0.

Grazie veramente dell'aiuto.