Successione

[pirata111]

scusate:
ma una successione convergente è sempre limitata????

[Principe2]

certo!

pensa che è definitivamente limitata (compresa fra il $l-\varepsilon$ e $l+varepsilon$, essendo $l$ il limite)
e che "prima di definitivamente" ci sono solo un numero finito di punti

[pirata111]

ma una successione limitata è sempre convergente??'

[irenze]

no.
prendi ad esempio la successione che vale -1 sui dispari e 1 sui pari.
questa successione continua sempre ad oscillare senza mai fermarsi.

[irenze]

però vale il teorema di bolzano-weierstrass:
ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.

[pirata111]

intendi dire questo:

limite di n->+infinito di a^n con a= -1 il valore del limiti consinuerà ad oscillare tra -1 , 1 giusto???

[irenze]

non c'è il limite: infatti per ogni $0 < \epsilon < 1$ e per ogni $n_0 \in NN$ non esiste un L tale che $|a_n-L|<\epsilon$ per ogni $n\ge n_0$, altrimenti dovrebbe essere
$2=|a_{n+1}-a_n|\le |a_{n+1}-L|+|L-a_n|<2\epsilon$
per ogni $n \ge n_0$, assurdo

[cippolippo1]

mi posso inserire nela vostra discussione visto che parlate di successioni convergenti? se ti serve ho una dimostrazione rigorosa della proposizione..cmq
mi sapreste dimostrare la seguente affermazione?

Siano {xn} e {yn} due successioni in uno spazio metrico (X,d) tale che xn-->x e yn-->y. Mostrare che d(xn,yn)-->d(x,y)

Grazie e scusate l'intrusione