Succesioni di funzioni

[Showhite]

Salve a tutti...l'altro giorno ho iniziato a studiare le successioni e serie di funzioni, nonostante abbia letto e riletto le definizioni che ci sono sul mio libro non riesco proprio a capire cosa si intenda per convergenza puntuale, convergenza uniforme e sopratutto non capisco quale sia il metodo da adottare per svolgere gli esercizi.
Ad esempio ho questo esercizio:
$ fn(x)=2 / (nx^(2)+ 2) $
come bisgogna procedere? Esiste uno schema da poter seguire?
Grazie mille in anticipo per la disponibilità

[gugo82]

Il libro che dice?

[Showhite]

Sia $ I $ un insieme di numeri reali e sia $ fk: I -> R $ una successione di funzioni reali definite in $ I $. Si dice che $ fk(x) $ converge puntualmente in I verso la funzione $ f: I -> R $ se risulta:
$ lim_(k -> oo ) $ $fk(x)=f(x) $ cioè se per ogni $ e>0 $ (e=epsilon) e per ogni $ x in I $ esiste $ v(e,x) in N $ tale che
$ |fk(x)-f(x)| in generale, fissato $ e>0 $ il numero $v$ dipende dal punto $ x $; se invece tale numero risulta indipendente da $ x $ si parla di convergenza uniforme.
Precisamente si dice che $ fk $ converge uniformemente in $ I $ verso $ f $ se per ogni $ e>0 $ esiste $ v(e) in N $ tale che
$ |fk(x)-f(x)| Equivalentemente $ fk $ converge uniformemente in $ I $ verso $ f $ se per ogni $ e>0 $ esiste $ v(e) in N $ tale che
sup ${|fk(x)-f(x)|: x in I}< e AA k> v(e) $
ancora equivalentemente $ fk(x) $ converge uniformemente in $ I $ verso $ f $ se è soddisfatta la relazione limite (di successione numerica)
$ lim k -> oo $ sup${|fk(x)-f(x)|: x in I} = 0 $

[gugo82]

Grazie per aver riportato la definizione, ma la ricordavo...

Possibile che sul libro non ci siano esempi svolti?

[Showhite]

Siano a,b due numeri reali e sia fk la successione definita nell intervello I=[0,1] da
fk(x) a se 0 b se 1/k
fissato $x in (0,1] $ per ogni k>1/x si ha 1/k

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