Succ di funzioni puntualmente conv ma non uniformemente
Ciao a tutti, mi affido a voi per risolvere questo esercizio perché da sola non ne esco fuori 
Il testo dell'esercizio è:
"Costruisci funzioni $f,f_{n} : RR \to RR , n in NN$ tali che:
1) $\lim_{n\to \infty} f_{n}(x) = f(x) \quad AA x in RR$
2) per ogni $-\infty <= a < b <= \infty$ la convergenza al punto 1) non è uniforme in $(a,b)$"
Ovvero deve convergere puntualmente per ogni x, ma non deve essere uniformemente convergente in $RR$ e in un qualsiasi intervallo aperto di $RR$.
Ho provato con alcune funzioni tipo
$frac{nx}{1+n^2x^2}$ o $x+e^{-nx^2}$, ho provato anche con funzioni definite a tratti, funzioni con valori assoluti, ma ogni volta ci sono intervalli aperti in cui sono uniformi.
Avete suggerimenti, idee? Perché io sto impazzendo xD
Il testo dell'esercizio è:
"Costruisci funzioni $f,f_{n} : RR \to RR , n in NN$ tali che:
1) $\lim_{n\to \infty} f_{n}(x) = f(x) \quad AA x in RR$
2) per ogni $-\infty <= a < b <= \infty$ la convergenza al punto 1) non è uniforme in $(a,b)$"
Ovvero deve convergere puntualmente per ogni x, ma non deve essere uniformemente convergente in $RR$ e in un qualsiasi intervallo aperto di $RR$.
Ho provato con alcune funzioni tipo
$frac{nx}{1+n^2x^2}$ o $x+e^{-nx^2}$, ho provato anche con funzioni definite a tratti, funzioni con valori assoluti, ma ogni volta ci sono intervalli aperti in cui sono uniformi.
Avete suggerimenti, idee? Perché io sto impazzendo xD
Risposte
Hint: Prova a partire dalla funzione di Dirichlet che vale $1$ sui numeri razionale, e vale $0$ sugli irrazionali.
E da li guarda se ti viene in mente qualche successione che fa al caso tuo.
E da li guarda se ti viene in mente qualche successione che fa al caso tuo.
Le successioni che mi sono venute in mente che tendono alla funzione di Dirichlet sono del tipo 1+cosa infinitesima per n se x è razionale e solo cosa infinitesima se x è irrazionale, tipo:
$\{(1+x/n if x in QQ), (x/n if x in RR \backslash QQ):}$
ma quando vado a vedere la convergenza uniforme sia per x razionale che irrazionale mi rimane $x/n$ o la cosa infinitesima che ci avevo messo e quindi c'è almeno un aperto in cui va a zero (sempre che il ragionamento che ho fatto sia giusto).
Per la funzione di Thomae (il secondo link non l'ho molto ben capito a dir la verità) accade più o meno la stessa cosa adottando la stessa idea di prima.
Allora ho pensato di comporre una successione che non converge uniformemente in $RR$ con la funzione di Thomae nella speranza di avere quei sup in punti che siano densi in $RR$ così da beccarlo in ogni intervallo. Al momento non l'ho ancora trovata xD Ho provato con un paio di funzioni ma non sono riuscita ad ottenere ciò che cercavo.
Ad esempio avevo provato
$f_n(x) = \{(0 if x in RR \backslash QQ),((n 1/q)/(1+(n 1/q)^2) if x=p/q in QQ):}$
tenderà puntualmente a $0 \quad AA x in RR$.
Il sup in $RR$ c'è quando $q=n$ e quindi quando $x=p/n$ con $p in NN$. Però per n fissato, i punti in cui si ha l'estremo superiore non sono densi in $RR$ e quindi ci saranno degli aperti che non li comprendono in cui quindi la successione convergerà uniformemente.
Nella mia testa il ragionamento fila, voi che dite? Ci sono altre cose che potrei provare per avvicinarmi alla soluzione?
Ps grazie mille per avermi risposto e dato dei suggerimenti, mi scuso anche per farvi leggere tutto questo pippone xD
$\{(1+x/n if x in QQ), (x/n if x in RR \backslash QQ):}$
ma quando vado a vedere la convergenza uniforme sia per x razionale che irrazionale mi rimane $x/n$ o la cosa infinitesima che ci avevo messo e quindi c'è almeno un aperto in cui va a zero (sempre che il ragionamento che ho fatto sia giusto).
Per la funzione di Thomae (il secondo link non l'ho molto ben capito a dir la verità) accade più o meno la stessa cosa adottando la stessa idea di prima.
Allora ho pensato di comporre una successione che non converge uniformemente in $RR$ con la funzione di Thomae nella speranza di avere quei sup in punti che siano densi in $RR$ così da beccarlo in ogni intervallo. Al momento non l'ho ancora trovata xD Ho provato con un paio di funzioni ma non sono riuscita ad ottenere ciò che cercavo.
Ad esempio avevo provato
$f_n(x) = \{(0 if x in RR \backslash QQ),((n 1/q)/(1+(n 1/q)^2) if x=p/q in QQ):}$
tenderà puntualmente a $0 \quad AA x in RR$.
Il sup in $RR$ c'è quando $q=n$ e quindi quando $x=p/n$ con $p in NN$. Però per n fissato, i punti in cui si ha l'estremo superiore non sono densi in $RR$ e quindi ci saranno degli aperti che non li comprendono in cui quindi la successione convergerà uniformemente.
Nella mia testa il ragionamento fila, voi che dite? Ci sono altre cose che potrei provare per avvicinarmi alla soluzione?
Ps grazie mille per avermi risposto e dato dei suggerimenti, mi scuso anche per farvi leggere tutto questo pippone xD
Sinceramente non ho seguito attentamente il tuo ragionamento perche' mi sembra eccessivamente contorto e poco chiaro.
Spiego meglio il mio aiuto precedente:
Parti da $f_0$ la funzione di Dirichlet e cerca trovare una funzione che converga alla funzione costantemente nulla (con le caratteristiche da te rischieste).
[ In particolare ricordati che si dovra' avere che fissata la $x$ per $n\to\infty$ la successione deve tendere a $0$, ma fissato un intervallo $(a,b)$ non bisogna riescire a trovare $n$ abbastanza grande tale che tutta la funzione nell'intervallo $(a,b)$ sia vicino a $0$ ]
(questa ultima parte tra le quadre e' scritta in modo fantasioso, se non ti e' chiara saltala).
Spiego meglio il mio aiuto precedente:
Parti da $f_0$ la funzione di Dirichlet e cerca trovare una funzione che converga alla funzione costantemente nulla (con le caratteristiche da te rischieste).
[ In particolare ricordati che si dovra' avere che fissata la $x$ per $n\to\infty$ la successione deve tendere a $0$, ma fissato un intervallo $(a,b)$ non bisogna riescire a trovare $n$ abbastanza grande tale che tutta la funzione nell'intervallo $(a,b)$ sia vicino a $0$ ]
(questa ultima parte tra le quadre e' scritta in modo fantasioso, se non ti e' chiara saltala).
"Sbrain":Questa successione di funzioni si può riscrivere così:
Le successioni che mi sono venute in mente che tendono alla funzione di Dirichlet sono del tipo 1+cosa infinitesima per n se x è razionale e solo cosa infinitesima se x è irrazionale, tipo:
$\{(1+x/n if x in QQ), (x/n if x in RR \backslash QQ):}$
ma quando vado a vedere la convergenza uniforme sia per x razionale che irrazionale mi rimane $x/n$ o la cosa infinitesima che ci avevo messo e quindi c'è almeno un aperto in cui va a zero (sempre che il ragionamento che ho fatto sia giusto).
Per la funzione di Thomae (il secondo link non l'ho molto ben capito a dir la verità) accade più o meno la stessa cosa adottando la stessa idea di prima.
\[
f_n(x)=\mathbf 1_{\mathbb Q}(x) + \frac x n,
\]
dove \(\mathbf 1_{\mathbb Q}\) è la funzione di Dirichlet. Ecco perché questa idea non funziona.
Ad esempio avevo provato
$f_n(x) = \{(0 if x in RR \backslash QQ),((n 1/q)/(1+(n 1/q)^2) if x=p/q in QQ):}$
tenderà puntualmente a $0 \quad AA x in RR$.
Il sup in $RR$ c'è quando $q=n$ e quindi quando $x=p/n$ con $p in NN$. Però per n fissato, i punti in cui si ha l'estremo superiore non sono densi in $RR$ e quindi ci saranno degli aperti che non li comprendono in cui quindi la successione convergerà uniformemente.
Secondo me questo va bene, ottimo lavoro. I razionali con denominatore \(n\) (e numeratore coprimo con \(n\)), formano un insieme denso in \(\mathbb R\), credo. Se questo è vero allora per ogni intervallo \((a,b)\) si ha che
\[
\sup_{x\in(a, b)} |f_n(x)|=1/2, \]
e quindi la convergenza non è uniforme.
"Wilde":
Sinceramente non ho seguito attentamente il tuo ragionamento perche' mi sembra eccessivamente contorto e poco chiaro.
Spiego meglio il mio aiuto precedente:
Parti da $f_0$ la funzione di Dirichlet e cerca trovare una funzione che converga alla funzione costantemente nulla (con le caratteristiche da te rischieste).
[ In particolare ricordati che si dovra' avere che fissata la $x$ per $n\to\infty$ la successione deve tendere a $0$, ma fissato un intervallo $(a,b)$ non bisogna riescire a trovare $n$ abbastanza grande tale che tutta la funzione nell'intervallo $(a,b)$ sia vicino a $0$ ]
(questa ultima parte tra le quadre e' scritta in modo fantasioso, se non ti e' chiara saltala).
Avevo capito di prendere una successione che tendeva alla Dirichlet, invece dovevo usarla in un altro modo! Allora ci penso sopra, grazie mille
"dissonance":
Ad esempio avevo provato
$f_n(x) = \{(0 if x in RR \backslash QQ),((n 1/q)/(1+(n 1/q)^2) if x=p/q in QQ):}$
tenderà puntualmente a $0 \quad AA x in RR$.
Il sup in $RR$ c'è quando $q=n$ e quindi quando $x=p/n$ con $p in NN$. Però per n fissato, i punti in cui si ha l'estremo superiore non sono densi in $RR$ e quindi ci saranno degli aperti che non li comprendono in cui quindi la successione convergerà uniformemente.
Secondo me questo va bene, ottimo lavoro. I razionali con denominatore \(n\) (e numeratore coprimo con \(n\)), formano un insieme denso in \(\mathbb R\), credo. Se questo è vero allora per ogni intervallo \((a,b)\) si ha che
\[
\sup_{x\in(a, b)} |f_n(x)|=1, \]
e quindi la convergenza non è uniforme.
Io ho pensato che non potesse valere perché quando vado a calcolare l'estremo superiore n lo considero come fissato e dopo faccio il limite facendolo tendere ad infinito. Quindi se ad esempio ponessi $n=2$ e considerassi l'aperto $(0, 1/3)$, non troverei nessun $p/2$ dentro l'intervallo con $p in NN$ e per questo ragionamento (ammettendo che sia corretto), esistono degli aperti che non contengono i vari sup.
Ah ho capito, in effetti hai ragione, c'è da lavorarci un po' di più. L'errore nel mio post precedente è qui:
Ma comunque penso che il tuo esempio vada bene, o che si possa aggiustare facilmente. Anche la costruzione che propone Wilde va bene.
I razionali con denominatore n (e numeratore coprimo con n), formano un insieme denso in R, credo.L'insieme denso è quello dei razionali con una **potenza** di \(n\) come denominatore. Per esempio, se \(n=2\) troviamo nell'intervallo \((0, 1/3)\) il numero \(1/4\).
Ma comunque penso che il tuo esempio vada bene, o che si possa aggiustare facilmente. Anche la costruzione che propone Wilde va bene.
Non sono riuscito a smettere di pensarci ed ecco il motivo per cui il tuo esempio va bene.
Proposizione. Sia
\[
f_n(x):=\begin{cases} \frac{ n/q }{1+ (n/q)^2}, & x =p/q,\ (p, q)=1 \\
0, & x\in \mathbb R\setminus \mathbb Q.
\end{cases}
\]
(Qui \((p,q)\) denota il massimo divisore comune tra i due interi \(p, q\).) Per ogni \(a
Dimostrazione. Esiste un \(M\ge 0\) tale che, per ogni \(m\ge M\), esiste un numero razionale \(p/(2^m)\in (a, b)\), dove \(p\in \{1, 2, \ldots, 2^m-1\}\). Questo viene dal fatto che l'insieme di tali razionali è denso in \(\mathbb R\). Perciò
\[
\sup_{x\in (a, b)} |f_{2^m}(x)|\ge |f_{2^m}\left( \frac{p}{2^m}\right)| = \frac 12.\]
Siccome \(|f_n(x)|\le \frac12\), la dimostrazione è conclusa. \(\Box\).
Proposizione. Sia
\[
f_n(x):=\begin{cases} \frac{ n/q }{1+ (n/q)^2}, & x =p/q,\ (p, q)=1 \\
0, & x\in \mathbb R\setminus \mathbb Q.
\end{cases}
\]
(Qui \((p,q)\) denota il massimo divisore comune tra i due interi \(p, q\).) Per ogni \(a
Dimostrazione. Esiste un \(M\ge 0\) tale che, per ogni \(m\ge M\), esiste un numero razionale \(p/(2^m)\in (a, b)\), dove \(p\in \{1, 2, \ldots, 2^m-1\}\). Questo viene dal fatto che l'insieme di tali razionali è denso in \(\mathbb R\). Perciò
\[
\sup_{x\in (a, b)} |f_{2^m}(x)|\ge |f_{2^m}\left( \frac{p}{2^m}\right)| = \frac 12.\]
Siccome \(|f_n(x)|\le \frac12\), la dimostrazione è conclusa. \(\Box\).
In effetti ripensandoci il mio ragionamento sul perché convergeva non funzionava perché la successione iniziale non converge se nell'intervallo c'è lo zero e componendo con la funzione di Thomae riesco ad avere lo zero in ogni aperto di $R$.
Ancora non ho provato con il metodo di Wilde. Però posso dire di avere abbastanza strumenti per porre fine a questo esercizio xD
Grazie mille a tutti, ora mi ritengo in pace con me stessa!
Ancora non ho provato con il metodo di Wilde. Però posso dire di avere abbastanza strumenti per porre fine a questo esercizio xD
Grazie mille a tutti, ora mi ritengo in pace con me stessa!
Non ho seguito bene come si è svolta tutta la discussione, ma volevo spiegare meglio il post che avevo messo prima: in pratica io ho cominciato a pensare ad un esempio e ho subito pensato a qualcosa che avesse a che fare con la funzione di Dirichlet, ma per iniziare volevo considerare le $f_n$ tutte continue, quindi la funzione di Dirichlet non poteva essere il limite, ma poi mi sono detto che per risolvere l'esercizio basta trovare una successione di funzioni continue che hanno come limite puntuale una funzione con un insieme di punti di discontinuità denso e mi è venuta in mente la funzione di Thomae che in effetti è il limite di una successione di funzioni continue (secondo link) che ha come insieme delle discontinuità un denso, ovvero $QQ$ (primo link).
Chiaramente se uno vuole trovare una espressione esplicita della successione questo non basta, ci sarebbe da pensarci oltre.
Chiaramente se uno vuole trovare una espressione esplicita della successione questo non basta, ci sarebbe da pensarci oltre.
"otta96":
la funzione di Dirichlet, ma per iniziare volevo considerare le $f_n$ tutte continue, quindi la funzione di Dirichlet non poteva essere il limite
Perché no? La convergenza deve essere solo puntuale, non uniforme. La costruzione di Wilde si può adattare in modo tale che le funzioni approssimanti siano tutte continue.
Ma la funzione di Dirichlet è della seconda classe di funzioni di Baire, quindi non è il limite puntuale di nessuna successione di funzioni continue.
Ah si? E invece la funzione di Thomae è il limite puntuale di una successione di funzioni continue? Che curioso.
(Nota per l'OP: sono considerazioni che non servono ai fini della risoluzione dell'esercizio).
(Nota per l'OP: sono considerazioni che non servono ai fini della risoluzione dell'esercizio).
Si perché l'insieme di punti di discontinuità di un limite puntuale di successione di funzioni continue è di prima categoria, che implica che la funzione di Dirichlet non lo sia.
@Sbrain: [ot]Monti? 
[/ot]
[/ot]
Scusate, ma non si può ragionare più semplicemente così?...
Sia $(r_n)$ un'enumerazione dei razionali.
Posto:
\[
f_n(x) := \begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_1,\ldots , r_n\\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
hai $f_n -> f$ puntualmente in $RR$, in cui $f$ è la funzione di Dirichlet, e però la convergenza non mi pare essere uniforme in alcun intervallo.
Sia $(r_n)$ un'enumerazione dei razionali.
Posto:
\[
f_n(x) := \begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_1,\ldots , r_n\\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
hai $f_n -> f$ puntualmente in $RR$, in cui $f$ è la funzione di Dirichlet, e però la convergenza non mi pare essere uniforme in alcun intervallo.
Questa è esattamente la costruzione di Wilde. Mi è piaciuto l'esempio costruito da Sbrain, perché il limite è una costante, quindi in particolare una funzione continua. Mi sembra più difficile costruire un esempio così.
Quanto alle considerazioni di tipo Baire, sono solo divagazioni, a otta96 sono piaciute queste cose.
(Due anni fa ho visto un seminario di un francese, molto conosciuto. Ha spiegato che siccome lui è di Digione, la città della mostarda e di Baire, mette della mostarda su tutti i piatti e applica il teorema di Baire tutte le volte che può. Per la mostarda non so, ma per il teorema di Baire otta96 fa più o meno la stessa cosa).
Quanto alle considerazioni di tipo Baire, sono solo divagazioni, a otta96 sono piaciute queste cose.
(Due anni fa ho visto un seminario di un francese, molto conosciuto. Ha spiegato che siccome lui è di Digione, la città della mostarda e di Baire, mette della mostarda su tutti i piatti e applica il teorema di Baire tutte le volte che può. Per la mostarda non so, ma per il teorema di Baire otta96 fa più o meno la stessa cosa).
Quindi mi sembra di capire di aver utilizzato i vostri suggerimenti nel modo sbagliato ma ugualmente con efficacia xD
[ot]Si ahahahahah si riconoscono così tanto i suoi esercizi? xD[/ot]
"Delirium":
@Sbrain: [ot]Monti?
[ot]Si ahahahahah si riconoscono così tanto i suoi esercizi? xD[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo