Succ. di funzione, $1-x^n$

[Steven11]

Ciao a tutti.
Sto studiando da poche ore, da autodidatta, le successioni di funzioni.

Vorrei togliermi subito un dubbio su un esempio del libro di successione convergente ma non uniformemente.
Il perché della non uniformità è esposto, ma io mi chiedo perché è anche convergente.

La successione è questa: $f_n(x)=1-x^n$ e le funzioni vanno dal compatto $[0,1]$ a $RR$.

La definizione dice che: per ogni $\bar{x}\in[0,1]$, fissato un certo $\epsilon>0$ posso determinare un certo $\nu$ dipendente da $\epsilon$ (e ora anche da $\bar{x}$) tale che
$|f(\bar{x})-f_n(\bar{x})|<\epsilon$
Allora io, che ho subito pensato alla funzione limite come la costante 1, sono andato a sostituire
$f(\bar{x})=1$ e $f_n(\bar{x})=1-\bar{x}^n$
ottenendo
$|\bar{x}^n|<\epsilon$
che è falsa perché per il caso $\bar{x}=1$ nessun $n$ può rendere vera la disuguaglianza.

Poi però mi son detto: per il caso $\bar{x}=1$ ottengo che tutte quelle funzioni sono identicamente nulle, quindi il limite in questo caso sarebbe $0$. Ma allora il limite non è unico? Il testo non dedica eccessive pagine alla teoria (5).
Non è che magari doveva mettere come dominio quell'intervallo aperto a destra, levando l'uno?

Spero mi aiutiate a fissare i concetti e trovare la falla dove cado.
Buona serata!

[gygabyte017]

Allora, fissato $barx in [0,1]$, calcoliamo $lim_(n->+oo) f_n(barx)$. Se $barx in [0,1)$ allora il limite fa $1$, altrimenti se $barx=1$ il limite fa $0$.
Quindi la funzione a cui converge puntualmente è:

$f(barx)=1\quad if barx in [0,1)$
$f(barx)=0\quad if barx=1$

Infatti, se $barx in [0,1)$, $AA epsilon>0$, $|f(barx)-f_n(barx)|=|1-1+barx^n|=|barx^n|nu, EEnu$ che è vero, si vede facilmente.
Invece, se $barx = 1$, $AA epsilon>0$, $|f(barx)-f_n(barx)|=|0-0|=|0|

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[dissonance]

Su $[0, 1]$ la funzione limite è $f(x)={(1, 0<=x<1), (0, x=1):}$. Chiaramente se togli $1$ dal dominio ottieni come limite la costante $1$, come dicevi tu. Un grafico animato (sono i grafici delle funzioni $f_1, f_2, ..., f_{25}$):

Ti consiglio vivamente, per studiare queste cose, di scriverti un programmino per realizzare grafici animati come quello di sopra. E' facilissimo e ti rende tutto più facile e divertente. Io ho usato Maple 11 con questo codice:

with(plots):

#Anima i grafici di una successione di funzioni. Richiede il pacchetto plots.
succgrafici:= proc(fn, Int_i, Int_x)
local listaplot;
listaplot=array(Int_i):
listaplot:=[seq(plot(fn(i, x), x=Int_x), i=Int_i)]:
display(listaplot, insequence=true);
end proc; 

Se vuoi usare questa procedurina devi definire la successione di funzioni fn come funzione di due variabili (prima la $n$ poi la $x$). Int_i è l'intervallo in cui far variare la $n$ e Int_x quello in cui far variare la $x$. Esempio:

f:=(n, x)->1-x^n;
succgrafici(f, 1..25, 0..1);

genera il grafico di sopra.

[Steven11]

Vi ringrazio per le risposte (dissonance: addirittuare il grafico animato! Io dovrò aspettare un po' a farlo, ancora non so programmare).

Fondamentlmente io ritenevo che la funzione limite dovesse essere unica per ogni $x$ appartenente al dominio fortito dal testo, e non che occorresse discernere i vari casi.

Allora una cosa: la definizione che ho riportato io è giusta? L'ho ricopiata dal testo.
Perchè allora non posso dire "per ogni $x\in[0,1]$, piuttosto potrei dire:
per ogni $x\in[0,1)$ etc (e si verifica che la funzione limite è 1)
e poi il caso singolo $x=1$.

Ecco, mi sembrerebbe che la def. andrebbe corretta dividendo l'intervallo di definizione $I$ in $I_1$, $I_2$..., tanti quanti sono i limiti possibili a seconda di $x$, e a quel punto applicare la definizione scritta.

Sto sbagliando?
A presto, grazie ancora.

[dissonance]

Ho l'impressione che tu ti stia perdendo in un bicchiere d'acqua, Steven.
Partiamo dalla convergenza puntuale che è quella più semplice da afferrare: sia $A$ un insieme qualunque e $(f_n)_{n\inNN}$ una successione di funzioni $A\toRR$ (*). Fissando $x\inA$ ha senso considerare la successione di numeri reali $(f_n(x))_{n\inNN}$ e chiedersi se converga. Se è questo il caso possiamo dire che la successione di funzioni converge puntualmente in $x$.

Ora supponiamo che, comunque si fissi $x\inA$, la successione numerica $(f_n(x))_{n\inNN}$ sia convergente. Allora ha senso associare ad ogni $x$ il limite della successione, definendo così una funzione $f: x\mapsto lim_{n\toinfty}f_n(x)$. Diremo che $f$ è il limite puntuale della successione di funzioni $(f_n)$.

Chiaramente, se $B\subA$, nulla ci vieta di pensare le $(f_n)$ come funzioni $B\toRR$. Altrettanto chiaramente la successione continuerà ad essere puntualmente convergente, ma ad una funzione $B\toRR$. Precisamente il limite puntuale sarà la restrizione a $B$ della funzione $f$.

Nel caso della successione $f_n(x)=1-x^n$, pensata come successione $[0, 1]\toRR$, il limite puntuale esiste ed è $f(x)={(1, 0<=x<1), (0, x=1):}$. Per quanto detto sopra, pensando le $f_n$ come funzioni $[0, 1)\toRR$, il limite puntuale continua ad esistere ed è la restrizione a $[0, 1)$ della funzione $f$, ovvero $f(x)=1,\ \forallx\in[0, 1)$.

_______________________________
(*) Prendo $RR$ tanto per semplicità, ma tu che hai studiato topologia non ti stupirai nel sapere che in luogo di $RR$ va bene un qualunque spazio topologico.

[Steven11]

Grazie mille, dissonance.

La lacuna che viziava il mio ragionamento era la seguente: $x$ va fissato prima, e ogni $x$ ha il suo limite puntuale, che è un numero reale e lo ottengo mandando $n$ a più infinito.

Io invece, scegliendo solo dopo il valore di $x$, mi trovavo a scontrarmi con quell'inconveniente, che d'altra parte avrebbe caratterizzato ogni caso in cui il limite puntuale può essere più d'uno, variando $x$ (come in questo caso) o essere proprio funzione di $x$, come, che so, in
$f_n(x)=1/n+x$

Sicuramente potrei esprimermi meglio, ma per adesso mi basta sapere di non aver detto cose scorrette.

Grazie ancora, ciao!

[Steven11]

Una cosa mi veniva in mente, chiedo di verificare la validità di quanto dico.

Suppongo che ho un caso come quello di sopra, in cui la funzione limite non è descrivibile da una sola legge ma occorre discernere vari casi.
Formalizzando
Il dominio di partenza è $A$, siano $A_2$ e $A_1$ t.c $A_1\uuA_2=A$ e ovviamente $A_1\nnA_2=\emptyset$
$f(x)={(g(x), x\inA_1), (h(x), x\inA_2):}$.
dove $f(x)$ è la funzione limite, e $g$ e $h$ sono due diverse funzioni (dominio e codominio uguali come si vede, ma legge diversa).

E' corretto dire che in tale situazione la successione di funzioni NON converge uniformemente?
Grazie
Ciao.

[gugo82]

No.

Ad esempio, prendi:

$f_n(x):=\{(g(x), ", se " x\in A_1),(h(x), ", se " x\in A_2):}$

e constata facilmente che $f_n\to f$ uniformemente in $A_1cupA_2$ (in effetti $f_n$ è la successione identicamente uguale alla tua $f$, quindi converge sicuramente uniformemente).

Altro esempio, un po' meno finto:

$f_n(x):=\sqrt(x^2+1/n)$

in $[-1,1]$; si ha $f_n(x)\to |x|=: f(x)$ uniformemente in $[-1,1]$ epperò, come sai:

$f(x)=\{(x, ", se " 0 <= x <= 1),(-x, ", se " -1 <= x < 0):}$

e gli insiemi $[0,1]$ e $[-1,0[$ sono disgiunti.

Tuttavia, la conclusione che trai sulla impossibilità di convergenza uniforme è possibile farla in un caso, ossia nel caso in cui le $f_n$ siano continue in $A=a_1cupA_2$ ed il limite non lo sia.
Infatti il teorema di continuità del limite uniforme assicura che il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua; per contro, se il limite di una successione di funzioni continue non è continuo, allora la convergenza non può essere uniforme.

[Steven11]

Perfetto, tutto chiarissimo.
Ho bisogno proprio di vedere esempi del genere fatti ad hoc, per impratichirmi e non fermarmi davanti agli esercizi come un ebete.

Grazie mille per la chiarezza, per ora basta così
A presto!