Subadditività numerabile aperti misura di Lebesgue
Siano $ A, A_1, ..., A_n, ... $ aperti di $ RR^n$ , $ A \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Allora $ m(A) \le \sum_{n=1}^\infty m(A_n). $
Nella dimostrazione considera un pluriintervallo compatto $ P \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n $.
Allora $ {A_n}_{n \in NN} $ è un ricoprimento aperto di $P$, $P$ è compatto, quindi $\exists $ un sottoricoprimento finito: $ P \subset A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup ... \cup A_{i_k} $.
Sia $N= max{i_1,...,i_k}$ ; $P \subset \bigcup_{n=1}^N A_n $
Conclude scrivendo che: $m(A) \le vol(P) \le m (\bigcup_{n=1}^N A_n) \le \sum_{n=1}^N m(A_n) \le \sum_{n=1}^\infty m(A_n)$.
Ma perchè vale la prima disuguaglianza: $ m(A) \le vol(P)$?
Nella dimostrazione considera un pluriintervallo compatto $ P \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n $.
Allora $ {A_n}_{n \in NN} $ è un ricoprimento aperto di $P$, $P$ è compatto, quindi $\exists $ un sottoricoprimento finito: $ P \subset A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup ... \cup A_{i_k} $.
Sia $N= max{i_1,...,i_k}$ ; $P \subset \bigcup_{n=1}^N A_n $
Conclude scrivendo che: $m(A) \le vol(P) \le m (\bigcup_{n=1}^N A_n) \le \sum_{n=1}^N m(A_n) \le \sum_{n=1}^\infty m(A_n)$.
Ma perchè vale la prima disuguaglianza: $ m(A) \le vol(P)$?
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