Su una serie di funzioni
Considerate la successione di funzioni
\[
f_n(x) = \frac{n}{\log{n}}x - n^2\sin\left( {\frac{x}{n\log n}}\right), \qquad \forall x \in \mathbb R, \quad 2 \le n \in \mathbb N
\]
e la serie di funzioni
\[
\sum_{n=2}^{\infty} f_n(x).
\]
Mi si chiede di:
1. stabilire la convergenza puntuale per ogni $x \in \RR$;
2. provare che la somma è continua su tutto $\RR$.
Ora, il punto 1 è semplice, si tratta di qualche conto. Vi domando gentilmente conferma dei miei ragionamenti, ma nascondo nel caso qualcuno ci volesse provare.
Ora c'è il problema della continuità. Che io sappia, l'unico modo è provare la convergenza uniforme della serie. E anche qui, l'unica strada penso sia la convergenza totale alla Weierstrass. Senonché non trovo nessuna stima furba.
La derivata viene comoda e pulita, ma sembra una strada sbarrata: fissato $n$, si ha
\[
f_n'(x) = \frac{n}{\log{n}}\left( 1- \cos\left({\frac{x}{n\log n}}\right)\right) \ge 0
\]
per ogni $x$. Quindi niente. Certo, da qui ricavo che ogni approssimante $f_n(x)$ è monotona crescente. Da qui forse segue la convergenza uniforme sui compatti: su un compatto, il massimo è raggiunto nell'estremo destro e la serie dei max converge (perché c'è convergenza puntuale): dico bene?
In ogni caso, si può da questo dedurre la continuità di $f$ su tutto $RR$? Qualcuno vede qualche strada?
Ringrazio anticipatamente.
\[
f_n(x) = \frac{n}{\log{n}}x - n^2\sin\left( {\frac{x}{n\log n}}\right), \qquad \forall x \in \mathbb R, \quad 2 \le n \in \mathbb N
\]
e la serie di funzioni
\[
\sum_{n=2}^{\infty} f_n(x).
\]
Mi si chiede di:
1. stabilire la convergenza puntuale per ogni $x \in \RR$;
2. provare che la somma è continua su tutto $\RR$.
Ora, il punto 1 è semplice, si tratta di qualche conto. Vi domando gentilmente conferma dei miei ragionamenti, ma nascondo nel caso qualcuno ci volesse provare.
Ora c'è il problema della continuità. Che io sappia, l'unico modo è provare la convergenza uniforme della serie. E anche qui, l'unica strada penso sia la convergenza totale alla Weierstrass. Senonché non trovo nessuna stima furba.
La derivata viene comoda e pulita, ma sembra una strada sbarrata: fissato $n$, si ha
\[
f_n'(x) = \frac{n}{\log{n}}\left( 1- \cos\left({\frac{x}{n\log n}}\right)\right) \ge 0
\]
per ogni $x$. Quindi niente. Certo, da qui ricavo che ogni approssimante $f_n(x)$ è monotona crescente. Da qui forse segue la convergenza uniforme sui compatti: su un compatto, il massimo è raggiunto nell'estremo destro e la serie dei max converge (perché c'è convergenza puntuale): dico bene?
In ogni caso, si può da questo dedurre la continuità di $f$ su tutto $RR$? Qualcuno vede qualche strada?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Senti, non ho controllato il ragionamento ma se una serie di funzioni continue converge uniformemente sui compatti di \(\mathbb{R}\) allora è continua. E' il caso, per esempio, della serie esponenziale.
Osserva che \(f_n\) si può scrivere come
\[
f_n(x) = n^2\, g\left(\frac{x}{n\, \log n}\right),
\qquad
\text{con}\qquad
g(t) := t - \sin t.
\]
Le stime che ti servono le puoi dunque ricavare da \(g\); senza farla troppo lunga, poiché \(g(t)\sim \frac{t^3}{6}\) per \(t\to 0\), avrai che, ad esempio, \(|g(t)| \leq C t^3\) per \(|t|\leq 1\) con \(C>0\) costante opportuna.
Di conseguenza, su ogni intervallo del tipo \([-a,a]\), per \(n\) sufficientemente grande (cioè t.c. \(\frac{a}{n\log n} < 1\)) avrai che
\[
\sup_{|x|\leq a} \left|g\left(\frac{x}{n\, \log n}\right)\right| \leq C \frac{a^3}{n^3\, \log^3 n}
\]
e dunque
\[
\sup_{|x|\leq a} |f_n(x)| \leq C \frac{a^3}{n\, \log^3 n} =: M_n.
\]
Poiché \(\sum_n M_n\) è convergente, per il criterio di Weierstrass la serie converge uniformemente in \([-a,a]\); visto che lel \(f_n\) sono continue, la somma è dunque continua in \([-a,a]\). Per l'arbitrarietà di \(a\), la somma è dunque continua su tutto \(\mathbb{R}\).
P.S.: questo è un tema d'esame di Analisi II dato a Ingegneria nel '95 (questo tanto per dire come sono cambiati i tempi...).
\[
f_n(x) = n^2\, g\left(\frac{x}{n\, \log n}\right),
\qquad
\text{con}\qquad
g(t) := t - \sin t.
\]
Le stime che ti servono le puoi dunque ricavare da \(g\); senza farla troppo lunga, poiché \(g(t)\sim \frac{t^3}{6}\) per \(t\to 0\), avrai che, ad esempio, \(|g(t)| \leq C t^3\) per \(|t|\leq 1\) con \(C>0\) costante opportuna.
Di conseguenza, su ogni intervallo del tipo \([-a,a]\), per \(n\) sufficientemente grande (cioè t.c. \(\frac{a}{n\log n} < 1\)) avrai che
\[
\sup_{|x|\leq a} \left|g\left(\frac{x}{n\, \log n}\right)\right| \leq C \frac{a^3}{n^3\, \log^3 n}
\]
e dunque
\[
\sup_{|x|\leq a} |f_n(x)| \leq C \frac{a^3}{n\, \log^3 n} =: M_n.
\]
Poiché \(\sum_n M_n\) è convergente, per il criterio di Weierstrass la serie converge uniformemente in \([-a,a]\); visto che lel \(f_n\) sono continue, la somma è dunque continua in \([-a,a]\). Per l'arbitrarietà di \(a\), la somma è dunque continua su tutto \(\mathbb{R}\).
P.S.: questo è un tema d'esame di Analisi II dato a Ingegneria nel '95 (questo tanto per dire come sono cambiati i tempi...).
Grazie mille ragazzi per le risposte. Alla fine non ero lontano dalla soluzione 
: la convergenza uniforme su tutti i compatti mi garantisce (per l'arbitrarietà di $a$) la continuità della somma.
Ma dai, davvero? E pensare che io l'ho trovato in una vecchia prova Indam per la Magistrale...
Grazie ancora.
: la convergenza uniforme su tutti i compatti mi garantisce (per l'arbitrarietà di $a$) la continuità della somma. "Rigel":
P.S.: questo è un tema d'esame di Analisi II dato a Ingegneria nel '95 (questo tanto per dire come sono cambiati i tempi...).
Ma dai, davvero? E pensare che io l'ho trovato in una vecchia prova Indam per la Magistrale...
Grazie ancora.
"Paolo90":
[quote="Rigel"]
P.S.: questo è un tema d'esame di Analisi II dato a Ingegneria nel '95 (questo tanto per dire come sono cambiati i tempi...).
Ma dai, davvero? E pensare che io l'ho trovato in una vecchia prova Indam per la Magistrale... [/quote]
Eh già, visto che le due prove sono state preparate dalla stessa persona.
La tua soluzione è comunque corretta: lo studio della derivata di permette di concludere che \(f_n\) è positiva e monotona crescente su \([0,+\infty)\), cosa che, insieme alla simmetria, ti permette facilmente di calcolare il \(\sup\) in \([-a,a]\).
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