Su una funzione differenziabile

[Sk_Anonymous]

Sia \(\displaystyle X=\mathcal{C}([a,b]) \) con la sup-norma. Mostrare che \[\displaystyle F: u \to \int^{b}_{a} u^{2} (x) \; dx \] definisce una funzione differenziabile di \(\displaystyle X \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \); esprimerne quindi il differenziale.

Viene detto che:
La funzione \(\displaystyle F \) può pensarsi composta di \(\displaystyle u \to u^2 \), funzione di \(\displaystyle X \) in \(\displaystyle X \), con \(\displaystyle \int_{a}^{b} : X \to \mathbb{R}\). Usando la regola di derivazione del prodotto si vede che in \(\displaystyle u_{0} \) la \(\displaystyle u \to u^2 \) è differenziabile ed ha \(\displaystyle h \to 2u_{0} h \) (di \(\displaystyle X \) in \(\displaystyle X \)) come differenziale.

Ecco, io non riesco a vedere un tubo. Qualcuno potrebbe gentilmente illuminarmi?

[gugo82]

Detta in parole povere, vuoi calcolare la derivata di Frechét del funzionale \(F\).
Siccome per arrivare a "vedere" serve sempre tempo, facciamo tutti i passaggi.

Scriviamo meglio il problema: abbiamo il funzionale:
\[
F:C([a,b])\ni u\mapsto \int_a^b u^2(x)\ \text{d} x\in \mathbb{R}
\]
definito sullo spazio di Banach \((C([a,b]),\| \cdot \|_\infty)\). Vogliamo provare che \(F\) è differenziabile in ogni \(u_0\in C([a,b])\) e vogliamo calcolarne il differenziale*.

Data la presenza del quadrato, il funzionale \(F\) non è lineare; tuttavia esso è continuo in ogni \(u_0\in C([a,b])\).

Invero, fissata una funzione \(u_0\in C([a,b])\), per ogni \(u\in C([a,b])\) si ha (ometto la variabile per brevità):
\[
\begin{split}
|F(u)-F(u_0)| &=\left| \int_a^b u^2-u_0^2\right| \\
&= \left| \int_a^b (u+u_0)(u-u_0)\right| \\
&\leq (b-a)\ \|u+u_0\|_\infty\ \| u-u_0\|_\infty \\
&\leq (b-a)\ \Big(\| u\|_\infty +\| u_0\|_\infty\Big)\ \| u-u_0\|_\infty \; ;
\end{split}
\]
preso \(\| u-u_0\|_\infty <\delta\) si ha pure:
\[
\| u\|_\infty \leq \| u-u_0\|_\infty + \| u_0\|_\infty \leq \delta +\| u_0\|_\infty
\]
e dunque dalla precedente catena segue:
\[
\| u-u_0\|_\infty <\delta \quad \Rightarrow \quad |F(u)-F(u_0)| \leq (b-a) (\delta +2\| u_0\|_\infty)\ \delta\; ;
\]
quindi affinché risulti \(|F(u)-F(u_0)|<\varepsilon\) basta scegliere \(\delta>0\) in modo che risulti \( (b-a) (\delta +2\| u_0\|_\infty)\ \delta <\varepsilon\); potendosi una tale scelta di \(\delta\) fare sempre, rimane provato che:
\[
\forall u_0\in C([a,b]),\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta= \delta (u_0,\varepsilon)>0:\quad \| u-u_0\|_\infty <\delta \ \Rightarrow \ |F(u)-F(u_0)|<\varepsilon
\]
che è la continuità di \(F\) in \(u_0\).

Ora, vogliamo calcolare la derivata di Frechét di \(F\) in \(u_0\).
Prendiamo un incremento \(h\in C([a,b])\setminus \{o\}\), andiamo a valutare esplicitamente la differenza:
\[
\begin{split}
F(u_0+h)-F(u) &= \int_a^b \Big (u_0+h)^2-u_0^2\Big)\\
&= 2\ \int_a^b u_0\ h + \int_a^b h^2\\
\end{split}
\]
da cui traiamo:
\[
\left| F(u_0+h)-F(u_0) - 2\ \int_a^b u_0\ h \right| = \left| \int_a^b h^2\right|
\]
ed infine:
\[
\frac{\left| F(u_0+h)-F(u_0) - 2\ \int_a^b u_0\ h \right|}{\| h\|_\infty} = \frac{1}{\| h\|_\infty}\ \left| \int_a^b h^2\right|\; ;
\]
passando al limite la precedente uguaglianza per \(\| h\|_\infty \to 0^+\) si trova:
\[
\lim_{\| h\|_\infty\to 0^+} \frac{\left| F(u_0+h)-F(u_0) - 2\ \int_a^b u_0\ h \right|}{\| h\|_\infty} = \lim_{\| h\|_\infty\to 0^+} \frac{1}{\| h\|_\infty}\ \left| \int_a^b h^2\right| = 0
\]
(in quanto \(\| h\|_\infty^{-1}\ \left| \int_a^b h^2\right| \leq (b-a)\ \| h\|_\infty\)).
Dalla definizione di derivata di Frechét segue che il funzionale \(A_{u_0}\) definito da:
\[
C([a,b])\ni h\mapsto 2\ \int_a^b u_0(x)\ h(x)\ \text{d} x \in \mathbb{R}
\]
è l'unico candidato ad essere il differenziale \(\operatorname{D}F_{u_0}\) di \(F\) in \(u_0\).
Per verificare che ciò accada, basta controllare che se l'assegnazione precedente definisce un funzionale lineare limitato su \(C([a,b])\).
Il funzionale \(h\mapsto 2\int_a^b u_0\ h\) è evidentemente lineare; inoltre, da:
\[
\left| A_{u_0} h\right| \leq 2\ \left| \int_a^b |u_0|\right|\ \| h\|_\infty
\]
segue immediatamente che \(A_{u_0}\) è limitato. Pertanto, a norma della definizione, si ha \(A_{u_0} = \operatorname{D}F_{u_0}\).


__________
* A tale proposito, ricorda che il differenziale di Frechét di un funzionale \(F:C([a,b])\to \mathbb{R}\) in un punto \(u_0\in C([a,b])\) è l'unico funzionale lineare limitato \(A_{u_0}:C([a,b])\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\lim_{\| h\|_\infty \to 0^+} \frac{|F(u_0+h)-F(u_0)-A_{u_0}h|}{\| h\|_\infty } =0\; ;
\]
in tal caso il funzionale \(A_{u_0}\) si denota col simbolo \(\operatorname{D}F_{u_0}\).

[Seneca1]

[OT]
@ gugo82: Che testo consiglieresti per approfondire gli elementi del calcolo differenziale in spazi normati?

[Sk_Anonymous]

Wow! Impressionante la quantità di conti che si nasconde dietro un "si vede"! E io che pensavo fosse qualcosa di banale...

Ti ringrazio gugo!

[gugo82]

@ Seneca:

"Seneca":[OT]
@ gugo82: Che testo consiglieresti per approfondire gli elementi del calcolo differenziale in spazi normati?

Dipende da cosa vuoi farci col Calcolo Differenziale... Insomma, questa roba astratta è nata ed è usata soprattutto per risolvere problemi di Calcolo delle Variazioni e di PDE.
Quindi ti consiglierei un libricino di CdV molto carino qual è il Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, nel quale c'è un po' di teoria, ma soprattutto molte applicazioni.

Se poi vuoi proprio approfondire la parte astratta, al momento non mi viene in mente un riferimento "pulito"... Potresti vedere lo Zeidler, Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications.

@ Delirium:

"Delirium":Wow! Impressionante la quantità di conti che si nasconde dietro un "si vede"! E io che pensavo fosse qualcosa di banale...

Infatti.
In Matematica bisogna stare molto attenti colle locuzioni "si vede", "è immediato", "segue banalmente", etc... Insomma: se davvero una cosa "si vede" subito, usare una locuzione del genere è giustificatissimo; ma, in caso contrario, per non correre il rischio d'esser presi per bari si dovrebbe sempre indicare la strada corretta da seguire.

[Seneca1]

Grazie mille.