Su una dimostrazione su forme chiuse e esatte

[mklplo751]

Salve. Parlando con la professoressa di Analisi 2 mi ha detto che per dimostrare che per aperti semplicemente connessi di $RR^2$, le 1-forme differenziali di classe $C^1$ e chiuse sono esatte, useremo le formule di Green-Gauss e il teorema di Jordan per le curve. Ora, a me non dispiace questo approccio, tuttavia ero curioso di sapere se ci fosse una dimostrazione che non usasse un risultato (il teorema di Jordan) la cui dimostrazione, che io sappia, non è banale. Per rispondere alla mia domanda, ho guardato sul Pagani-Salsa Analisi Matematica 2 e viene riportata una dimostrazione (anche se in $RR^3$) che effettivamente sfrutta solo la definizione di omotopia tra cammini, senza usare i due teoremi di cui si parlava prima, tuttavia nella dimostrazione viene supposto che la funzione che realizza l'equivalenza omotopica sia $C^1$ e non solo continua, però alla fine della dimostrazione viene detto che queste ipotesi ulteriore può essere omessa approssimando accuratamente la famiglia di curve...e onestamente non mi è chiaro che cosa si intenda. Ora riporto la dimostrazione per intero (in realtà mi limito alla sufficienza, dato che la necessità è ovvia), prima però enuncio il teorema: "Siano $ \omega = F_1 dx+F_2 dy+F_3 dz$, $F=F_1 i+F_2 j+F_3k$ con $F \in C^1(E)$ dove $E$ è un aperto semplicemente connesso di $RR^3$. Allora $\omega$ è esatta in $E$ se e solo se $rot F=0_(RR^3)$ in E."

Siano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ curve regolari, con estremi in comune, contenute in $E$ e con stesso verso di percorrenza. Poichè $E$ è semplicemente connesso esiste una famiglia di curve $\gamma_\lambda$ tale che $\phi (t, \lambda)=(x(t,\lambda),y(t,\lambda),z(t,\lambda))$ con $(t,\lambda)\in [a,b]xx[0,1]$ che soddisfa la condizione di omotopia. Conduciamo la dimostrazione assumendo che $\phi \in C^1([a,b]xx[0,1])$ e che abbia derivate seconde miste continue. Poniamo $I(\lambda)=\int _{\gamma_\lambda} \omega $. Osserviamo che $I(0)=\int_{\gamma_1} \omega \ $ $I(1)=\int_{gamma_2} \omega$. Dimostriamo che $J=\frac{dI}{d\lambda}=0$. Derivando sotto il segno di integrale $J=\int_a^b F_{1x}x_\lambda x_t+ F_{1y}y_\lambda x_t+F_{1z}z_\lambda x_t+F_1 x_{\lambda t}+F_{2x}x_\lambda y_t+ F_{2y}y_\lambda y_t+F_{1z}z_\lambda y_t+F_2 y_{\lambda t}+F_{3x}x_\lambda z_t+ F_{3y}y_\lambda z_t+F_{3z}z_\lambda z_t+F_3 z_{\lambda t} dt$
(con le variabili al pedice si intendono le derivate parziali rispetto a quella variabile). Usando l'ipotesi sul rotore si ha che $J= \int_a^b \frac{d}{dt} (F_1 x_\lambda + F_2 y_\lambda+ F_3 z_\lambda) dt=0$ dato che $\phi(a,\lambda)$ e $\phi(b,\lambda)$ sono costanti. Le ipotesi ulteriori poste su $\phi$ possono essere rimosse approssimando opportunamente le $\gamma_ \lambda$.

Io ho provato a trovare un modo, ma "approssimare" mi fa venire in mente solo due cose: Taylor (che tuttavia non indebolisce le ipotesi, anzi...) oppure la definizione di integrale (ovvero considerare somme superiori e inferiori, che tuttavia non penso porti a molto).
Se non vi reca disturbo, potreste dirmi voi cosa ne pensate in merito?

[megas_archon]

"La" dimostrazione usa la coomologia di de Rham: su un aperto $U$ semplicemente connesso, \(H^1_\text{dR}(U)=0\), perché la coomologia del punto è banale e perché un aperto semplicemente connesso di \(\mathbb R^2\) è debolmente contraibile, nel senso che ogni mappa continua \(f : S^n \to U\) si estende in maniera unica a meno di omotopia a una mappa definita sul disco, \(\bar f : D^{n+1} \to U\).

[mklplo751]

E' proprio necessario invocare la coomologia di De Rham? Inoltre, il fatto che sia banale, non discende come conseguenza di questo teorema?

[mklplo751]

E' proprio necessario invocare la coomologia di De Rham? Inoltre, il fatto che sia banale, non discende come conseguenza di questo teorema?

[megas_archon]

Con teorie potenti, i teoremi difficili diventano banali... E in ogni caso, non è "necessario" in senso stretto (o almeno credo), ma l'alternativa qual è? L'analisi?

[mklplo751]

Beh...anche a me piace più la topologia che l'analisi, tuttavia vorrei anche usare cose che conosco e per ora alla coomologia di De Rham non ci sono arrivato e dunque avrei voluto capire più che altro cosa intendeva il libro con "approssimare opportunamente" che penso significhi usare qualcosa di analisi.

[Studente Anonimo]

@ mklplo

Si tratta del contributo di Goursat al teorema di Cauchy nell'ambito delle funzioni analitiche di variabile complessa:

Volendo approfondire, si trova il materiale in rete. Tuttavia, tutte le dimostrazioni che ho visto sono contenute in risorse sull'analisi complessa.

[mklplo751]

Il fatto che se il dominio è rettangolare, allora valga l'equivalenza tra esatte e chiuse lo abbiamo fatto nel corso. A questo punto forse la parte difficile è la seconda. In teoria uno dovrebbe approssimare ogni curva della famiglia con una spezzata di $n$ punti e poi passare al limite?

[Studente Anonimo]

Prova a dare un'occhiata qui (Dimostrazione di Goursat):
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_i ... _di_Cauchy

[mklplo751]

Grazie. Vedendola con calma, forse riesco a trarne un modo per capire come riscrivere la dimostrazione originaria del libro.

[dissonance]

Questa stessa domanda, ESATTAMENTE la stessa domanda, me la sono posta anche io undici anni fa, lo so perché la ho postata su Math.SE: https://math.stackexchange.com/question ... homotopies. Ci sono anche due risposte, molto interessanti.

[mklplo751]

Grazie @dissonance per il link, il teorema citato è molto interessante.
Per quanto riguarda la dimostrazione su Wikipedia, c'è una cosa che non mi è chiara. Per quanto riguarda dimostrare che lungo il bordo di un triangolo una forma chiusa ha integrale nullo, pensavo che si potesse dimostrare anche facendo notare ciò: l'insieme è semplicemente connesso e dunque il triangolo è interamente contenuto nell'insieme, ma allora posso restringermi a studiare la forma chiusa sul triangolo, che essendo un sottoinsieme stellato mi permette di dire che la restrizione di questa forma è esatta e dunque lungo il bordo del triangolo, l'integrale è nullo. Il punto che non mi è chiaro è come ciò implichi che lungo una poligonale chiusa, contenuta in un aperto semplicemente connesso, una forma chiusa abbia integrale nullo.