Su una caratterizzazione del limite di una successione

[dark121it]

Salve a tutti,

spesso nelle dimostrazioni di analisi si rende necessario dover dimostrare la convergenza di una successione.
Tuttavia quasi sempre, non si riesce a fare vedere la disuguaglianza sul "primo" $\epsilon$ ma, per esempio, su
$\epsilon/2$ e cose di questo tipo.
Siccome mi scoccio a dover imporre condizioni del tipo


sia $\epsilon >0$ allora fissato $\epsilon_1 :=\epsilon/2 $ ...etc.

mi chiedevo se non fosse possibile caratterizzare il concetto di limite di un successione con un teoremino
di questo tipo:



TEOREMA

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione di reali convergente, $L\in\mathbb{R}$.
Allora sono equivalenti:

(a) $\forall\varepsilon>0\exists v\in\mathbb{N}$ $\forall n\geq v:|a_{n}-L|<\varepsilon$

(b) $\forall\varepsilon>0\exists f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$
invertibile, $\exists v\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v:|a_{n}-L|
Dimostrazione

(a)$\Rightarrow$(b)

Sia $\varepsilon>0$. Sia $f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$
tale che $\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*}f(x):=\frac{1}{x}$.

$f$ è invertibile con inversa $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$.

Inoltre $f(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}>0$ e quindi $\exists v\in\mathbb{N}\forall n\geq v:|a_{n}-L|<\frac{1}{\varepsilon}=f(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}>0$.

(b)$\Rightarrow$(a)

Sia $\varepsilon>0$.

Per HP $\exists f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$invertibile,
$\exists v\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v:|a_{n}-L|
Sia $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$.

Applicando di nuovo l'ipotesi, $\exists v_{1}\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v_{1}:|a_{n}-L|

Cita

Segnala

---

Risposte

regim

22 lug 2010, 19:57

Quando in un teorema la relazione di limite o altre che necessitano di un $epsilon >0$ nella definizione originale, sono invece soddisfatte da un'altra quantità, purchè positiva e passibile di essere scelta in modo arbitrario, le dimostrazioni vanno ugualmente bene.

[edit] Il fatto che si fanno miracoli per cercare di far venire alla fine una quantità $epsilon$(poi non è sempre così), non deve farti pensare che sia proprio necessario, basta che sia positiva ma ARBITRARIA.

Cita

Segnala

---

dark121it

22 lug 2010, 20:19

Lo so, ma in realtà volevo sapere se il discorso di prima andava bene...

Cita

Segnala

---

regim

22 lug 2010, 21:34

Passo!

PS
Giustifico la risposta perchè a mio avviso stai perdendo tempo, mia opinione personale, puoi rigettarla in toto ovviamente!

Cita

Segnala

---

dark121it

22 lug 2010, 21:38

Ok, no problem.

Cita

Segnala

---

dissonance

22 lug 2010, 21:55

Secondo me non stai perdendo tempo, invece. Quando sarai più esperto potrai sorvolare su queste cose bollandotele mentalmente come "ovvie", ma adesso è un utile esercizio sforzarsi di formalizzare tutto.

La tua proposizione è quasi vera: con questo enunciato tu permetti a $f$ di dipendere da $epsilon$, il che non va bene. Supponiamo infatti che la tua proposizione sia vera: segue da ciò che $0=1$. Consideriamo infatti la successione $a_n=(0, 0, 0, ...)$. Fissato $epsilon>0$, definiamo una funzione $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ bigettiva mediante la

${(f(x)=x, epsilon > 1), (f(x)=1/x, epsilon <=1):}$

Allora per ogni $n>=1$, risulta che $|a_n-1|<=f(epsilon)$, da cui per il tuo teorema $a_n\to 1$, ma essendo $a_n$ una successione costante, è anche $a_n\to 0$. Per unicità del limite ricaviamo che $0=1$.

Cita

Segnala

---

dark121it

23 lug 2010, 07:14

"dissonance":Secondo me non stai perdendo tempo, invece. Quando sarai più esperto potrai sorvolare su queste cose bollandotele mentalmente come "ovvie", ma adesso è un utile esercizio sforzarsi di formalizzare tutto.

"dissonance":
La tua proposizione è quasi vera: con questo enunciato tu permetti a $f$ di dipendere da $epsilon$, il che non va bene. Supponiamo infatti che la tua proposizione sia vera: segue da ciò che $0=1$. Consideriamo infatti la successione $a_n=(0, 0, 0, ...)$. Fissato $epsilon>0$, definiamo una funzione $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ bigettiva mediante la

${(f(x)=x, epsilon > 1), (f(x)=1/x, epsilon <=1):}$

Allora per ogni $n>=1$, risulta che $|a_n-1|<=f(epsilon)$, da cui per il tuo teorema $a_n\to 1$, ma essendo $a_n$ una successione costante, è anche $a_n\to 0$. Per unicità del limite ricaviamo che $0=1$.

Hai ragione.
Mi viene da pensare quindi che la formulazione corretta sia



TEOREMA

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione di reali convergente, $L\in\mathbb{R}$.
Allora sono equivalenti:

(a) $\forall\varepsilon>0\exists v\in\mathbb{N}$ $\forall n\geq v:|a_{n}-L|<\varepsilon$

(b) $exists f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$ invertibile tc $ \forall\varepsilon>0$
, $\exists v\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v:|a_{n}-L|


Naturalmente ora dovrei trovare l'errore nella dimostrazione precedente; solo che ... non lo trovo!
Un aiutino?

Cita

Segnala

---

dissonance

23 lug 2010, 07:23

E no, ancora non è ben detto. Togli "convergente" dall'enunciato.

[*:3esn5o79]Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla;
b) blablabla.

Vera una delle due, diremo che $(a_n)$ è convergente ad $L$. [/*:m:3esn5o79][/list:u:3esn5o79]Così mi pare vada meglio. In questa forma la scrivi come proposizione-definizione; una alternativa è

[*:3esn5o79]Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla, ovvero $(a_n)$ è convergente ad $L$;
b) blablabla.[/*:m:3esn5o79][/list:u:3esn5o79]così hai scritto solo una proposizione, e non una definizione.

Cita

Segnala

---

dissonance

23 lug 2010, 07:28

Ed ecco l'errore nella dimostrazione:

"dark121it":Sia $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$.

Applicando di nuovo l'ipotesi, $\exists v_{1}\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v_{1}:|a_{n}-L|Chi ti ha detto che $|a_n-L|

Cita

Segnala

---

dark121it

23 lug 2010, 09:41

"dissonance":E no, ancora non è ben detto. Togli "convergente" dall'enunciato.

Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.
Tra l'altro quando dico che $(a_n)_n$ è convergente, non so se che converge ad $L$.
Quindi l'informazione iniziale "Siano una successione [...] "
e la parte in (a) non sono equivalenti.

Ti dirò, in realtà la forma che hai proposto tu

"dissonance":
Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla;
b) blablabla.

piace di più anche a me!
Ho messo convergente, perchè (a questo punto) credo di avere ancora qualche confusione su come
si debbano dare ipotesi e tesi.
Ad esempio, un'altra cosa che non mi è chiara, è quando a volte capita di dover giustificare una formula (per esempio) di derivazione per una certa funzione $f$.
Nella tesi in questione, i miei prof specificano sempre 2 questioni:
1) $f$ è derivabile.
2)formula.
Secondo me la prima è inutile.
Cioè, se scrivo una formula del tipo $f'=....$ non è implicitamente contenuto il fatto che $f$ sia derivabile?

"dissonance":Ed ecco l'errore nella dimostrazione:
[quote="dark121it"]Sia $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$.

Applicando di nuovo l'ipotesi, $\exists v_{1}\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v_{1}:|a_{n}-L|Chi ti ha detto che $|a_n-L|

In pratica, se ho capito bene, fissato $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$ posso trovare una
funzione $g:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$ invertibile
tc definitivamente $|a_{n}-L| garantisce che $g=f$. Giusto?

Cita

Segnala

---

dissonance

23 lug 2010, 09:56

"dark121it":Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.

Ma non è "un problema". Dal punto di vista logico il tuo enunciato era corretto, però aveva una ipotesi ridondante che si poteva eliminare. In genere è sempre meglio ridurre al minimo le ipotesi per aumentare l'applicabilità delle proposizioni. Ad esempio per applicare il tuo enunciato precedente sarebbe stato necessario, preliminarmente, verificare che la successione è convergente a qualche limite: tutto lavoro inutile.

Cioè, se scrivo una formula del tipo $f'=....$ non è implicitamente contenuto il fatto che $f$ sia derivabile?

Qui è diverso. Si, certamente su un libro di fisica o di un argomento applicato nel momento in cui si scrive $f'$ si suppone implicitamente che $f$ sia derivabile e buonanotte; ma in un discorso matematico è molto brutto fare così. Se la funzione è derivabile allora ha senso parlare di derivata e il simbolo $f'$ acquista un significato univoco. Ma nel caso precedente non era necessario supporre $a_n$ convergente per dare un significato univoco alla formula $\forall epsilon \exists \nu\ "etc"...$.

Ed ecco l'errore nella dimostrazione:[...] però nessuno mi
garantisce che $g=f$. Giusto?

Giusto.

Cita

Segnala

---

dark121it

23 lug 2010, 10:01

"dissonance":[quote="dark121it"]Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.

Ma non è "un problema". Dal punto di vista logico il tuo enunciato era corretto, però aveva una ipotesi ridondante che si poteva eliminare. In genere è sempre meglio ridurre al minimo le ipotesi per aumentare l'applicabilità delle proposizioni.
[/quote]

Ok, ok. Sul ridondante anch'io avevo forti sospetti.

Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto datomi.

Alla prox.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[regim]

Quando in un teorema la relazione di limite o altre che necessitano di un $epsilon >0$ nella definizione originale, sono invece soddisfatte da un'altra quantità, purchè positiva e passibile di essere scelta in modo arbitrario, le dimostrazioni vanno ugualmente bene.

[edit] Il fatto che si fanno miracoli per cercare di far venire alla fine una quantità $epsilon$(poi non è sempre così), non deve farti pensare che sia proprio necessario, basta che sia positiva ma ARBITRARIA.

[dark121it]

Lo so, ma in realtà volevo sapere se il discorso di prima andava bene...

[regim]

Passo!

PS
Giustifico la risposta perchè a mio avviso stai perdendo tempo, mia opinione personale, puoi rigettarla in toto ovviamente!

[dark121it]

Ok, no problem.

[dissonance]

Secondo me non stai perdendo tempo, invece. Quando sarai più esperto potrai sorvolare su queste cose bollandotele mentalmente come "ovvie", ma adesso è un utile esercizio sforzarsi di formalizzare tutto.

La tua proposizione è quasi vera: con questo enunciato tu permetti a $f$ di dipendere da $epsilon$, il che non va bene. Supponiamo infatti che la tua proposizione sia vera: segue da ciò che $0=1$. Consideriamo infatti la successione $a_n=(0, 0, 0, ...)$. Fissato $epsilon>0$, definiamo una funzione $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ bigettiva mediante la

${(f(x)=x, epsilon > 1), (f(x)=1/x, epsilon <=1):}$

Allora per ogni $n>=1$, risulta che $|a_n-1|<=f(epsilon)$, da cui per il tuo teorema $a_n\to 1$, ma essendo $a_n$ una successione costante, è anche $a_n\to 0$. Per unicità del limite ricaviamo che $0=1$.

[dark121it]

"dissonance":Secondo me non stai perdendo tempo, invece. Quando sarai più esperto potrai sorvolare su queste cose bollandotele mentalmente come "ovvie", ma adesso è un utile esercizio sforzarsi di formalizzare tutto.

"dissonance":
La tua proposizione è quasi vera: con questo enunciato tu permetti a $f$ di dipendere da $epsilon$, il che non va bene. Supponiamo infatti che la tua proposizione sia vera: segue da ciò che $0=1$. Consideriamo infatti la successione $a_n=(0, 0, 0, ...)$. Fissato $epsilon>0$, definiamo una funzione $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ bigettiva mediante la

${(f(x)=x, epsilon > 1), (f(x)=1/x, epsilon <=1):}$

Allora per ogni $n>=1$, risulta che $|a_n-1|<=f(epsilon)$, da cui per il tuo teorema $a_n\to 1$, ma essendo $a_n$ una successione costante, è anche $a_n\to 0$. Per unicità del limite ricaviamo che $0=1$.

Hai ragione.
Mi viene da pensare quindi che la formulazione corretta sia



TEOREMA

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione di reali convergente, $L\in\mathbb{R}$.
Allora sono equivalenti:

(a) $\forall\varepsilon>0\exists v\in\mathbb{N}$ $\forall n\geq v:|a_{n}-L|<\varepsilon$

(b) $exists f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$ invertibile tc $ \forall\varepsilon>0$
, $\exists v\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v:|a_{n}-L|


Naturalmente ora dovrei trovare l'errore nella dimostrazione precedente; solo che ... non lo trovo!
Un aiutino?

[dissonance]

E no, ancora non è ben detto. Togli "convergente" dall'enunciato.

[*:3esn5o79]Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla;
b) blablabla.

Vera una delle due, diremo che $(a_n)$ è convergente ad $L$. [/*:m:3esn5o79][/list:u:3esn5o79]Così mi pare vada meglio. In questa forma la scrivi come proposizione-definizione; una alternativa è

[*:3esn5o79]Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla, ovvero $(a_n)$ è convergente ad $L$;
b) blablabla.[/*:m:3esn5o79][/list:u:3esn5o79]così hai scritto solo una proposizione, e non una definizione.

[dissonance]

Ed ecco l'errore nella dimostrazione:

"dark121it":Sia $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$.

Applicando di nuovo l'ipotesi, $\exists v_{1}\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v_{1}:|a_{n}-L|Chi ti ha detto che $|a_n-L|

Cita

Segnala

[dark121it]

"dissonance":E no, ancora non è ben detto. Togli "convergente" dall'enunciato.

Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.
Tra l'altro quando dico che $(a_n)_n$ è convergente, non so se che converge ad $L$.
Quindi l'informazione iniziale "Siano una successione [...] "
e la parte in (a) non sono equivalenti.

Ti dirò, in realtà la forma che hai proposto tu

"dissonance":
Siano $(a_n)$ una successione di numeri reali e $L\in RR$. Sono equivalenti

a) blablabla;
b) blablabla.

piace di più anche a me!
Ho messo convergente, perchè (a questo punto) credo di avere ancora qualche confusione su come
si debbano dare ipotesi e tesi.
Ad esempio, un'altra cosa che non mi è chiara, è quando a volte capita di dover giustificare una formula (per esempio) di derivazione per una certa funzione $f$.
Nella tesi in questione, i miei prof specificano sempre 2 questioni:
1) $f$ è derivabile.
2)formula.
Secondo me la prima è inutile.
Cioè, se scrivo una formula del tipo $f'=....$ non è implicitamente contenuto il fatto che $f$ sia derivabile?

"dissonance":Ed ecco l'errore nella dimostrazione:
[quote="dark121it"]Sia $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$.

Applicando di nuovo l'ipotesi, $\exists v_{1}\in\mathbb{N}$ tc $\forall n\geq v_{1}:|a_{n}-L|Chi ti ha detto che $|a_n-L|

In pratica, se ho capito bene, fissato $\varepsilon_{1}:=f^{-1}(\varepsilon)>0$ posso trovare una
funzione $g:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$ invertibile
tc definitivamente $|a_{n}-L| garantisce che $g=f$. Giusto?

[dissonance]

"dark121it":Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.

Ma non è "un problema". Dal punto di vista logico il tuo enunciato era corretto, però aveva una ipotesi ridondante che si poteva eliminare. In genere è sempre meglio ridurre al minimo le ipotesi per aumentare l'applicabilità delle proposizioni. Ad esempio per applicare il tuo enunciato precedente sarebbe stato necessario, preliminarmente, verificare che la successione è convergente a qualche limite: tutto lavoro inutile.

Cioè, se scrivo una formula del tipo $f'=....$ non è implicitamente contenuto il fatto che $f$ sia derivabile?

Qui è diverso. Si, certamente su un libro di fisica o di un argomento applicato nel momento in cui si scrive $f'$ si suppone implicitamente che $f$ sia derivabile e buonanotte; ma in un discorso matematico è molto brutto fare così. Se la funzione è derivabile allora ha senso parlare di derivata e il simbolo $f'$ acquista un significato univoco. Ma nel caso precedente non era necessario supporre $a_n$ convergente per dare un significato univoco alla formula $\forall epsilon \exists \nu\ "etc"...$.

Ed ecco l'errore nella dimostrazione:[...] però nessuno mi
garantisce che $g=f$. Giusto?

Giusto.

[dark121it]

"dissonance":[quote="dark121it"]Ma a me non sembra che il fatto di lasciare "convergente" determini un problema.

Ma non è "un problema". Dal punto di vista logico il tuo enunciato era corretto, però aveva una ipotesi ridondante che si poteva eliminare. In genere è sempre meglio ridurre al minimo le ipotesi per aumentare l'applicabilità delle proposizioni.
[/quote]

Ok, ok. Sul ridondante anch'io avevo forti sospetti.

Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto datomi.

Alla prox.