Su un operatore \( M \colon \ell^1 \to \ell^{\infty}\)

[Paolo902]

Mostrare che non esiste una successione \((t_k)_k \in \mathbb R^\mathbb N\) tale che
\[
\sum_k \vert a_k \vert <+\infty \iff \sup_k \vert t_ka_k \vert <+\infty, \qquad \forall (a_k)_k \in \mathbb R^\mathbb N.
\]

La mia idea.

Supponendo per assurdo di avere una siffatta $(t_k)_k$, intendo definire un opportuno operatore di moltiplicazione tra \( \ell^1 \) e \( \ell^{\infty} \), mostrare che è bigettivo e continuo e concludere - mediante mappa aperta - che è un omeomorfismo, assurdo perché \(\ell^1\) è separabile e \( \ell^{\infty}\) no.

In questo spoiler i dettagli.

Supponiamo per assurdo che esista una siffatta successione $(t_k)_k$. Non è restrittivo assumere che $t_k \ne 0$ per ogni $k$; se gli zeri di $t_k$ fossero in numero finito, non c'è problema (la successione ottenuta da $t_k$ ponendo uguale a 1 quando $t_k=0$ soddisfa ancora la proprietà sopra). D'altra parte, non può nemmeno accadere che gli zeri siano una quantità numerabile, perché in tal caso
\[
\mathbb R^\mathbb N \ni a_k := \begin{cases}
k & \text{ se } t_k=0 \\
0 & \text{ se } t_k \ne 0
\end{cases}
\]
non sta certamente in \( \ell^1 \) e però \( t_ka_k \equiv 0 \in \ell^{\infty} \). Ancora, $t_k$ deve essere limitata: se fosse illimitata, allora - a meno di sottosuccessioni - $t_k \ge k^3$ per infiniti valori di $k$; prendendo \( a_k := \frac{1}{k^2} \in \ell^1 \), avrei $t_ka_k \ge k$ per infiniti valori di $k$, in particolare \( t_ka_k \notin \ell^{\infty}\).

Quindi, in definitiva, assumendo $t_k \ne 0$ per ogni $k$ e $t_k$ limitata, resta definito un operatore bigettivo
\[
\begin{split}
M \colon & \ell^1 \to \ell^{\infty}\\
& (a_k)_k \mapsto (t_ka_k)_k
\end{split}
\]
Tale operatore è continuo, giacché \( \vert t_ka_k \vert \le \vert t_k \vert \Vert a_k \Vert_1\) (quindi $M$ ha norma al più \( \sup_k \vert t_k \vert <\infty \) ). Per mappa aperta avrei che anche l'inverso $M^{-1}$ è continuo e quindi $M$ sarebbe un omeomorfismo, assurdo per la già citata proprietà topologica che distingue \( \ell^1 \) da \(\ell^{\infty}\).

Potete dirmi che ne pensate, per piacere? Vi pare corretto?
Spero comunque che il problema vi piaccia (io mi sono divertito!). Grazie.

[Rigel1]

Mi sembra corretto (a parte una piccola imprecisione nella dimostrazione della limitatezza di \((t_k)\)).

[Paolo902]

Grazie per la correzione, Rigel, sei sempre molto gentile e disponibile.

Per quanto riguarda la limitatezza di $(t_k)_k$ l'idea che avevo era questa (ma riconosco, rileggendo attentamente quanto ho scritto, che mi sono espresso molto male e ho fatto pasticci): supponiamo che per ogni $M>0$ esista un $k\in \NN$ tale che $t_k>M$. In particolare, prendendo $M_k=k^3$, riesco a trovare una sottosuccessione (che continuo a chiamare $t_k$) per cui $t_k > k^3$. Quindi, con la scelta di \( a_k=k^{-2} \in \ell^1 \) , si ha $t_ka_k > k$ su un'estratta ed è chiaro che ciò implica che $t_ka_k$ non può essere limitata. Ti sembra vada meglio o mi sfugge ancora qualcosa?

Grazie ancora.

[Rigel1]

E' solo una questione di indici: con il tuo argomento dimostri che esiste una sottosuccessione \((t_{k_j})\) tale che
\(t_{k_j}\geq j^3\) per ogni \(j\); a questo punto costruisci \((a_k)\) tale che \(a_{k_j} = 1/j^2\) per ogni \(j\), \(a_k = 0\) per gli altri indici.