Su come imparare bene ed intuitivamente dai libri formali
Sono uno studente completamente autodidatta e, tra le altre cose, sto studiando Analisi matematica II. Ho avuto un'introduzione alla materia verso settembre tramite materiale intuitivo ma informale, e così ho deciso di cambiare nel corso di questo mese verso un libro che mi desse una formazione un po' più solida: l'Analisi matematica 1 e 2 del Giusti.
Ora, se prima mi trovavo insoddisfatto nel modo superficiale in cui si giungeva a certi risultati, adesso devo affrontare una situazione opposta e forse ancora più estrema. Il "rigore" e la formalità - almeno nei sopracitati testi che sto seguendo io - sostituiscono quasi in totale l'aspetto intuizionistico dell'imparare. Certi concetti vengono definiti quasi esclusivamente tramite simboli e notazioni ingombranti, altri tramite sommatorie in cui mi tocca decifrare come un pazzo gli indici e immaginare a mente lo sviluppo delle somme dei termini.
Nozioni che troverei altrimenti molto facili, e che potrei benissimo approfondire di più dopo una rapida introduzione informale, pare vengano complicate oltre qualunque utilità.
Dunque, domanda: come è possibile imparare da un libro simile? Tra voi qualcuno avrà pur letto il Giusti, o qualche testo simile. Io stesso lo feci prima di acquistarlo, e per Analisi I ne ero rimasto colpito vista la chiarezza e la precisione di diverse spiegazioni. Per Analisi II invece, mi sento troppo spesso ostacolato dalla pesantezza di metodi formali che non riesco a giustificare.
Ora, se prima mi trovavo insoddisfatto nel modo superficiale in cui si giungeva a certi risultati, adesso devo affrontare una situazione opposta e forse ancora più estrema. Il "rigore" e la formalità - almeno nei sopracitati testi che sto seguendo io - sostituiscono quasi in totale l'aspetto intuizionistico dell'imparare. Certi concetti vengono definiti quasi esclusivamente tramite simboli e notazioni ingombranti, altri tramite sommatorie in cui mi tocca decifrare come un pazzo gli indici e immaginare a mente lo sviluppo delle somme dei termini.
Nozioni che troverei altrimenti molto facili, e che potrei benissimo approfondire di più dopo una rapida introduzione informale, pare vengano complicate oltre qualunque utilità.
Dunque, domanda: come è possibile imparare da un libro simile? Tra voi qualcuno avrà pur letto il Giusti, o qualche testo simile. Io stesso lo feci prima di acquistarlo, e per Analisi I ne ero rimasto colpito vista la chiarezza e la precisione di diverse spiegazioni. Per Analisi II invece, mi sento troppo spesso ostacolato dalla pesantezza di metodi formali che non riesco a giustificare.
Risposte
Per darvi un'idea concreta di ciò che intendo, vi lascio con delle definizioni ricavate dai libri di teoria del Giusti.
Definizione di prodotto scalare:
Quando eseguo i prodotti scalari a mente non faccio mica ricorso ad una sommatoria! Ho imparato intuitivamente dallo Strang (Introduction to Linear Algebra), e una sommatoria mi è più utile all'interno di una serie di calcoli, che per spiegare.
Definizione di prodotto vettoriale:
Anche qui, per il modulo, faccio ricorso al determinante "inesatto" di una matrice \(\displaystyle 3 \times 3 \) con i vettori \(\displaystyle \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \) e le componenti scalari dei due vettori.
Definizione di matrice hessiana:
Non ho nulla contro i formalismi, ma a me, come forse anche a voi, a volte impediscono di formare un'idea iniziale dei concetti.
Definizione di prodotto scalare:
Quando eseguo i prodotti scalari a mente non faccio mica ricorso ad una sommatoria! Ho imparato intuitivamente dallo Strang (Introduction to Linear Algebra), e una sommatoria mi è più utile all'interno di una serie di calcoli, che per spiegare.
Definizione di prodotto vettoriale:
Anche qui, per il modulo, faccio ricorso al determinante "inesatto" di una matrice \(\displaystyle 3 \times 3 \) con i vettori \(\displaystyle \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \) e le componenti scalari dei due vettori.
Definizione di matrice hessiana:
Non ho nulla contro i formalismi, ma a me, come forse anche a voi, a volte impediscono di formare un'idea iniziale dei concetti.
La matematica, come altre cose, è un linguaggio, e c'è solo un modo di imparare una lingua: parlarla coi suoi nativi.
Tu ora sei spaesato perché, sapendo l'italiano, vuoi parlare lo slovacco, e non ti rendi conto (perché lo dimentichi, o perché sei confuso) che il contenuto di informazione di una traduzione corretta è invariante per cambi di formalismo. L'idea intuitiva guida la formazione di definizioni astratte, e queste sono progettate in modo da evocare, in chi le legge, una idea intuitiva, ma essere fluenti in ambo le lingue è il risultato di un lungo, paziente e dedizioso lavoro quotidiano. Quello che ti succede succede a tutti. Pazienta, e continua a parlare.
Tu ora sei spaesato perché, sapendo l'italiano, vuoi parlare lo slovacco, e non ti rendi conto (perché lo dimentichi, o perché sei confuso) che il contenuto di informazione di una traduzione corretta è invariante per cambi di formalismo. L'idea intuitiva guida la formazione di definizioni astratte, e queste sono progettate in modo da evocare, in chi le legge, una idea intuitiva, ma essere fluenti in ambo le lingue è il risultato di un lungo, paziente e dedizioso lavoro quotidiano. Quello che ti succede succede a tutti. Pazienta, e continua a parlare.
Sono completamente d'accordo con killing_buddha. Il formalismo eccessivo può essere un problema, sono d'accordo, ma non mi sembra il caso degli esempi che hai fornito tu. Devi "solo" darci dentro con lo studio. Non ti perdere troppo su internet, con dispense, appuntini, risorse varie: al tuo livello è meglio avere poche fonti ma sbatterci ripetutamente la testa su.
"nildex":
Definizione di prodotto scalare:
Quando eseguo i prodotti scalari a mente non faccio mica ricorso ad una sommatoria! Ho imparato intuitivamente dallo Strang (Introduction to Linear Algebra), e una sommatoria mi è più utile all'interno di una serie di calcoli, che per spiegare.
E come calcoli tu i prodotti scalari?
"dissonance":
Il formalismo eccessivo può essere un problema, sono d'accordo, ma non mi sembra il caso degli esempi che hai fornito tu. [...]
Neppure a me, a dire il vero.
Ho infatti studiato Analisi I su dei testi che non erano del Giusti. Sarebbe stato meglio fossi partito direttamente da questi, soprattutto perché mi piacciono e soddisfano di più.
Avevo passato circa una settimana nello studiare alcuni dei concetti presenti nel primo del Giusti ma non nel testo precedente - il Bramanti-Pagani-Salsa, se ne avete interesse - pensando bastassero per continuare nel volume secondo. Pare che mi sbagliassi, dato che non solo delle nozioni fondamentali, ma anche dei ragionamenti, delle intuizioni, delle dimostrazioni ecc. sono come spostate in questo primo libro.
Pare insomma che saltare troppo di fretta alla seconda parte interrompesse un po' il filo del discorso...
"Plepp":
[quote="nildex"]
Quando eseguo i prodotti scalari a mente non faccio mica ricorso ad una sommatoria! Ho imparato intuitivamente dallo Strang (Introduction to Linear Algebra), e una sommatoria mi è più utile all'interno di una serie di calcoli, che per spiegare.
E come calcoli tu i prodotti scalari?
[/quote]Quello di prodotto scalare era un esempio eh, ed anche elementare direi, per chiarirmi
.Comunque, considerate le componenti di due vettori \(\displaystyle \vec{a} \) e \(\displaystyle \vec{b} \), formo delle "coppie" \(\displaystyle a_1 b_1, a_2 b_2, \ldots, a_n b_n \) e le sommo tra loro. È un procedimento molto rapido, "grezzo" ed intuitivo, ma francamente non l'ho riconosciuto mai osservando una sommatoria scritta come \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} \) senza che venisse espansa. Anzi, questa formulazione più astratta è arrivata dopo.
Mi ci è voluto un paio di esempi pratici, come \(\displaystyle \vec{a} = (1, 3, 5) \), \(\displaystyle \vec{b} = (2, 4, 6) \) e \(\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 44 \) per realizzarlo.
"nildex":[/quote][/quote]
[quote="Plepp"][quote="nildex"]
È un procedimento molto rapido, "grezzo" ed intuitivo, ma francamente non l'ho riconosciuto mai osservando una sommatoria scritta come \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{a_i b_i} \) senza che venisse espansa. Anzi, questa formulazione più astratta è arrivata dopo.
Non stai scegliendo bene gli aggettivi. E' più grezzo, rapido ed intuitivo scrivere "gatto" o "猫"?
Dipende da dove sei nato, e da quale alfabeto hai imparato per primo. L'altro è del tutto equivalente (o forse no: altrimenti tradurre un testo non sarebbe un'arte).
Nello stesso modo in cui un ideogramma (ad esempio 猫) è la concettualizzazione di un ente concreto, il simbolo di sommatoria è una concettualizzazione, una crasi di una operazione concreta (la somma di conglomerati), che aiuta una notazione (quella per le somme finite) che a volte vorrebbe essere espansa a indicare somme di lunghezza arbitraria o (passando al limite) somme di un numero infinito di termini. Chiaramente, per un parlante di una lingua alfabetica la scrittura 猫 è astrusa e richiede un enorme sforzo mnemonico e immaginativo; ma è la conseguenza della poca dilatazione di uno sfintere, più che del fatto che una lingua, o un set di rappresentazioni, sia più naturale dell'altro, che lo è meno.
L'analisi di killing_buddha mi pare ottima e molto convincente (con la piccola eccezione della dilatazione dello sfintere: mi sfugge a quale sfintere tu ti riferisca e non posso fare a meno di notare un evidente lato comico 
).
Se vuoi una testimonianza più terra-terra, ti posso dire che questo senso di spaesamento è perfettamente normale, perché un libro ti può solo fornire un epsilon della tua conoscenza e della tua intuizione matematica. È come piantare un seme. Quello che poi fa crescere questo seme sono le tue riflessioni autonome, è così che il pensiero evolve.
). Se vuoi una testimonianza più terra-terra, ti posso dire che questo senso di spaesamento è perfettamente normale, perché un libro ti può solo fornire un epsilon della tua conoscenza e della tua intuizione matematica. È come piantare un seme. Quello che poi fa crescere questo seme sono le tue riflessioni autonome, è così che il pensiero evolve.
Seguendo l’idea di killing.
Vai in America, magari non sai l’americano, impari a parlarlo a farti una idea e poi ne studi la grammatica.
Io la prima volta che misi le mani sul De Marco: Analisi 1, lo svogliavo con sconforto.
Oggi, che ho messo le mani sul De Marco: Analisi 2, sto subendo lo stesso sconforto
Magari le cose che hai imparato ieri, per te oggi sono banali come: la dimostrazione di un teorema, un esercizio, una definizione.
La cosa che posso consigliarti è di non perdere le basi e di ripassarle magari non costantemente, ma quando puoi.
Ti faccio un esempio: sto studiando le successioni e serie di funzioni e mi sono fatto nuovamente tutte le dimostrazioni su serie e successioni di analisi 1, il che ovviamente dovrebbe essere fatto autonomamente.
Vai in America, magari non sai l’americano, impari a parlarlo a farti una idea e poi ne studi la grammatica.
Io la prima volta che misi le mani sul De Marco: Analisi 1, lo svogliavo con sconforto.
Oggi, che ho messo le mani sul De Marco: Analisi 2, sto subendo lo stesso sconforto
Magari le cose che hai imparato ieri, per te oggi sono banali come: la dimostrazione di un teorema, un esercizio, una definizione.
La cosa che posso consigliarti è di non perdere le basi e di ripassarle magari non costantemente, ma quando puoi.
Ti faccio un esempio: sto studiando le successioni e serie di funzioni e mi sono fatto nuovamente tutte le dimostrazioni su serie e successioni di analisi 1, il che ovviamente dovrebbe essere fatto autonomamente.
Io intendevo lo sfintere mentale della comprensione, siete voi che siete maliziosi.
Grothendieck, comunque, parlava di "yoga" non per caso.
Grothendieck, comunque, parlava di "yoga" non per caso.
Ma dove hai studiato analisi 1? Nei testi a colori della mondadori? Quello sarebbe troppo formale?
"Vulplasir":
Ma dove hai studiato analisi 1? Nei testi a colori della mondadori? Quello sarebbe troppo formale?
Amen fratello!
"Vulplasir":
Ma dove hai studiato analisi 1? Nei testi a colori della mondadori? Quello sarebbe troppo formale?
Nel BPS, come già osservato prima, quasi esclusivamente perché volevo proseguire "spedito". Col senno di adesso direi che sia in termini di qualità che - paradosso - di tempo, avrei fatto meglio a partire subito dal Giusti:
[...] Avevo passato circa una settimana nello studiare alcuni dei concetti presenti nel primo del Giusti ma non nel testo precedente - il Bramanti-Pagani-Salsa, se ne avete interesse - pensando bastassero per continuare nel volume secondo. [...]
Il BPS è un libro per Ingegneria, credo, o perlomeno questa è l’impressione che ne ebbi io quando, da studente di Ingegneria, ci studiai Analisi 1 per la prima volta. Non è nemmeno lontanamente paragonabile al Giusti (che personalmente, però, trovo bruttino).
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