Studio uniforme convergenza

[rinale84]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1+log(1+n^2x^2)}{n^2x^2}[/tex] negli itnervalli [1;+inf[ e ]0,+o - inf[

dovrei provare con la convergenza totale, ho provato ( nel caso dell'intervallo con 1) a sostituire 1 nella serie ma non riesco a studiarla...potreste darmi una dritta??Grazie mille!

[fu^2]

la serie è a termni positivi, dunque puoi studiare, che forse è più semplice,

[tex]\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{1+\log({1+n^2x^2})}{n^2x^2}=\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2x^2}+\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{\log({1+n^2x^2})}{n^2x^2}[/tex]

[rinale84]

ti ringrazio ma la seconda serie come la studi?

[rinale84]

up

[Rigel1]

Può essere utile osservare che la funzione $h(t) = \frac{\log(1+t)}{t}$ è monotona decrescente, con
$\lim_{t\to 0^+} h(t) = 1$ e $\lim_{t\to +\infty} h(t) = 0$.

[rinale84]

ti ringrazio quindi maggioro con la serie armonica generalizzata e ci siamo...è uniformmente convergente in entrambi gli intervalli...

[gugo82]

Lascia stare un momento la scomposizione e studia la serie come faresti per qualunque serie di funzioni.
C'è un metodo standard: applicalo.

Se ti blocchi su qualche conto, posta di nuovo.

[rinale84]

allora ho provato a fare in questo modo nell'intervallo [1,+inf) la serie mi viene uniformmente convergente perchè basta considerare la serie con x=1(la serie degli estremi superiori) e basta una maggiorazione con la serie armonica generalizzata per avere la convergenza...

Nell'intervallo ]0,+inf) non viene unifomemente convergente e lo vedo grazie al criterio di cauchy perchè ,(ammettendo epr assurdo la convergenza uniforme) se faccio il limite per x che tende a 0+
ottengo +infinito

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