Studio sulla convergenza di serie
salve a tutti, avrei bisogno di una mano per lo studio di queste due serie:
$ sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3(ln(x+1))^n $ $ sum_(n = \1) ^(+oo) (-1)^n/(n!3^n $
Per quanto riguarda la prima, devo studiarne la convergenza assoluta al variare di x $ in $ R
Io ho cercato di risolverla utilizzando il criterio delle stime asintotiche per x>-1, perchè per x $ <= $ -1 il logaritmo non esiste.
Con le stime asintotiche e in seguito utilizzando il criterio della radice,mi esce che la serie converge per x<0 $ vv $ x>1
Per quanto riguarda la seconda serie, invece, devo calcolarne la somma.
Ho cercato di ricondurmi ad una serie geometrica ma non credo sia il procedimento adatto.
Vi ringrazio anticipatamente per aiuti e consigli
$ sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3(ln(x+1))^n $ $ sum_(n = \1) ^(+oo) (-1)^n/(n!3^n $
Per quanto riguarda la prima, devo studiarne la convergenza assoluta al variare di x $ in $ R
Io ho cercato di risolverla utilizzando il criterio delle stime asintotiche per x>-1, perchè per x $ <= $ -1 il logaritmo non esiste.
Con le stime asintotiche e in seguito utilizzando il criterio della radice,mi esce che la serie converge per x<0 $ vv $ x>1
Per quanto riguarda la seconda serie, invece, devo calcolarne la somma.
Ho cercato di ricondurmi ad una serie geometrica ma non credo sia il procedimento adatto.
Vi ringrazio anticipatamente per aiuti e consigli
Risposte
Ciao,
Il primo risultato non mi sembra corretto: prendi $x = e - 1 > 1$, allora la serie è: $ sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3(ln(e - 1 +1))^n) = sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3)$, tale serie è a termini positivi, dunque la convergenza assoluta è equivalente a quella semplice tuttavia $\sum_{n=1}^{+oo} \frac{n^2 + 5}{n^3}$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=1}^{+oo} \frac{1}{n}$(per il criterio del confronto asintotico), che diverge. Visto che devi studiare la convergenza assoluta di quella roba, cioè devi studiare la convergenza di $ sum_(n = \1) ^(+oo) abs((n^2+5)/(n^3(ln(x+1))^n)$, ti consiglio di applicare il criterio del rapporto.
Per quanto riguarda la seconda serie: certamente converge per il criterio di leibniz, infatti $a_n = \frac{1}{n!3^n}$ tende a 0 decrescendo(si verifica facilmente considerando $a_(n+1) - a_n$). Per quando riguarda la somma: $e^x = \sum_{n = 1}^{
oo} \frac{x^n}{n!} \forall x in \mathbb{R}$(se questo fatto non ti è noto provo a trovare un altro metodo) da cui...
Il primo risultato non mi sembra corretto: prendi $x = e - 1 > 1$, allora la serie è: $ sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3(ln(e - 1 +1))^n) = sum_(n = \1) ^(+oo) (n^2+5)/(n^3)$, tale serie è a termini positivi, dunque la convergenza assoluta è equivalente a quella semplice tuttavia $\sum_{n=1}^{+oo} \frac{n^2 + 5}{n^3}$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=1}^{+oo} \frac{1}{n}$(per il criterio del confronto asintotico), che diverge. Visto che devi studiare la convergenza assoluta di quella roba, cioè devi studiare la convergenza di $ sum_(n = \1) ^(+oo) abs((n^2+5)/(n^3(ln(x+1))^n)$, ti consiglio di applicare il criterio del rapporto.
Per quanto riguarda la seconda serie: certamente converge per il criterio di leibniz, infatti $a_n = \frac{1}{n!3^n}$ tende a 0 decrescendo(si verifica facilmente considerando $a_(n+1) - a_n$). Per quando riguarda la somma: $e^x = \sum_{n = 1}^{
oo} \frac{x^n}{n!} \forall x in \mathbb{R}$(se questo fatto non ti è noto provo a trovare un altro metodo) da cui...
Grazie per i consigli, ho fatto come mi hai detto e ho applicato il criterio del rapporto alla prima serie. Come risultato mi esce che converge per $ 1/ln(x+1)<1 $ quando $ x > -1 $
Riguardo la seconda serie, ho utilizzato quello che mi hai suggerito $ e^x=sum_(n = \1) ^(+oo) x^n/(n!) $
ho riscritto la serie come $ sum_(n = \1) ^(+oo) (-1/3)^n/(n!) $ e come risultato finale mi esce che la somma è $ 1/(e)^(1/3) $
I risultati sono corretti? Grazie di nuovo
Riguardo la seconda serie, ho utilizzato quello che mi hai suggerito $ e^x=sum_(n = \1) ^(+oo) x^n/(n!) $
ho riscritto la serie come $ sum_(n = \1) ^(+oo) (-1/3)^n/(n!) $ e come risultato finale mi esce che la somma è $ 1/(e)^(1/3) $
I risultati sono corretti? Grazie di nuovo
"FrancescoSergi":
Grazie per i consigli, ho fatto come mi hai detto e ho applicato il criterio del rapporto alla prima serie. Come risultato mi esce che converge per $ 1/ln(x+1)<1 $ quando $ x > -1 $
Riguardo la seconda serie, ho utilizzato quello che mi hai suggerito $ e^x=sum_(n = \1) ^(+oo) x^n/(n!) $
ho riscritto la serie come $ sum_(n = \1) ^(+oo) (-1/3)^n/(n!) $ e come risultato finale mi esce che la somma è $ 1/(e)^(1/3) $
I risultati sono corretti? Grazie di nuovo
Per la prima serie: converge quando $abs(\frac{1}{ln(x+1)}) < 1$ e $x > -1$.
Il secondo risultato è corretto
Perfetto, grazie mille
"FrancescoSergi":Occhio; Nella seconda serie la somma non è $e^(-1/3)$.
Perfetto, grazie mille
Vedi che la sommatoria parte da 1, mentre nello sviluppo dell'esponenziale pare da 0.
Quindi la somma è $e^(-1/3) -1$.
_______
Cavolo che svista, grazie!
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