Studio Sommabilità

[luigirussofacebook]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio sullo studio della Sommabilità nell' intervallo (0, +inf), potreste spiegarmi il procedimento?
La funzione è: $log(1 + x)/(x(x + 1))$

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Ciao , devi verificare che :

$\int_0^{\infty} |\frac{log(1+x)}{x(x+1)}|dx<\infty$

L'integrale risulta $\frac{\pi^2}{6}$ che è minore di $\infty$

Da ciò segue che la funzione è sommabile in tale intervallo.

[***1117]

VI è pure questo criterio :

Criterio Sommabilità in $\mathbb {R}^n$

Ipotesi :

Sia $\alpha$ $\in$ $\mathbb {R}$ , $D$ $\in$ $\mathbb {R}^n$ limitato , $(x_1,x_2,..,x_n)$ $\in$ $\dot{D}$ ,
$f(x_1,x_2,..,x_n)$ : $D$ \ $(x_1,x_2;..,x_n}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R} $ continua in $D$ \ $(x_1,x_2;..,x_n}$
Esiste $\lim_({x,y,...z}->{x_1, x_2 ,...,x_n}) |f(x_1,x_2;..,x_n)|(sqrt((x-x_1)^2+(x-x_2)^2+...+(x-x_n)^2))^{\alpha}=l$
(1) $\alpha < n$ e $l$ diverso da $\infty$
(2) $\alpha >= n$ e $l$ diverso da $0$

Tesi :

(1) f Sommabile in $D$
(2) f non Sommabile in $D$