Studio serie numerica
Salve, ho un problema a capire un passaggio nella risoluzione dello studio del carattere della seguente serie numerica:
$ sum_(n =1) (e^((n^2 +2n)/(n^2+1))-e) $
(sopra la serie ovviamente c'è $+oo$ )
Prima di tutto ho controllato che fosse a termini positivi, e lo è. Poi ho fatto il limite per n che tende a + infinito e dato che viene 0 so che la serie può convergere o divergere.
A questo punto non sapendo che fare ho sbirciato la soluzione scoprendo un passaggio a me oscuro:
il libro mi suggerisce che dato che
$ e^((n^2 +2n)/(n^2+1)) -> 1 $
$ e^((n^2 +2n)/(n^2+1))-e = e(e^((n^2 +2n)/(n^2+1)-1)-1) $ e fin qui tutto chiaro
$ e(e^((n^2 +2n)/(n^2+1)-1)-1)~ e((n^2 +2n)/(n^2+1) -1) $ ecco io quest'ultimo passaggio proprio non ci arrivo poi l'esercizio prosegue molto semplicemente con un confronto ma questa approssimazione asintotica non la capisco..e se qualcuno avesse consigli o link su internet per approfondire il più possibile l'argomento ne sarei grata.
grazie a chi risponderà
$ sum_(n =1) (e^((n^2 +2n)/(n^2+1))-e) $
(sopra la serie ovviamente c'è $+oo$ )
Prima di tutto ho controllato che fosse a termini positivi, e lo è. Poi ho fatto il limite per n che tende a + infinito e dato che viene 0 so che la serie può convergere o divergere.
A questo punto non sapendo che fare ho sbirciato la soluzione scoprendo un passaggio a me oscuro:
il libro mi suggerisce che dato che
$ e^((n^2 +2n)/(n^2+1)) -> 1 $
$ e^((n^2 +2n)/(n^2+1))-e = e(e^((n^2 +2n)/(n^2+1)-1)-1) $ e fin qui tutto chiaro
$ e(e^((n^2 +2n)/(n^2+1)-1)-1)~ e((n^2 +2n)/(n^2+1) -1) $ ecco io quest'ultimo passaggio proprio non ci arrivo poi l'esercizio prosegue molto semplicemente con un confronto ma questa approssimazione asintotica non la capisco..e se qualcuno avesse consigli o link su internet per approfondire il più possibile l'argomento ne sarei grata.
grazie a chi risponderà
Risposte
Il limite notevole $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1$, ricordi?
"dan95":
Il limite notevole $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1$, ricordi?
si ricordo, avevo intuito che bisognasse sfruttarlo, ma non so come. Sono confusa in questo momento, sto annegando in un bicchier d'acqua credo. puoi farmi tutti i passaggi?
cioè quello che non capisco è come fa a dire che $e( e^((n^2+2n)/(n^2+1))-1)$ si approssimi a $(n^2+2n)/(n^2+1) -1$
poi il fatto che il limite faccia 1 e che quindi le due serie abbiamo lo stesso carattere mi era chiaro
poi il fatto che il limite faccia 1 e che quindi le due serie abbiamo lo stesso carattere mi era chiaro
Certamente...
Comincio nel dire che sia $a_n$ una successione tale che $\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0$ e $a_n \ne 0$ per ogni $n \in NN$, allora
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{e^{a_n}-1}{a_n}=1$$
Questo è un fatto generale in quanto possiamo sempre ricondurre limiti di funzioni in limiti di successioni [nota]Vedi caratterizzazione per successioni di limiti di una funzione a variabile reale.[/nota]...
Chiaramente nel nostro caso $a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1$, quindi risulta che
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{e^{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1}-1}{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1}=1$$
Ovvero questo ci dice per definizione di equivalenza asintotica che $e^{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1} -1 ~ \frac{n^2+2n}{n^2+1}-1$. Per il criterio del confronto asintotico hanno lo stesso carattere le due serie.
Comincio nel dire che sia $a_n$ una successione tale che $\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0$ e $a_n \ne 0$ per ogni $n \in NN$, allora
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{e^{a_n}-1}{a_n}=1$$
Questo è un fatto generale in quanto possiamo sempre ricondurre limiti di funzioni in limiti di successioni [nota]Vedi caratterizzazione per successioni di limiti di una funzione a variabile reale.[/nota]...
Chiaramente nel nostro caso $a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1$, quindi risulta che
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{e^{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1}-1}{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1}=1$$
Ovvero questo ci dice per definizione di equivalenza asintotica che $e^{\frac{n^2+2n}{n^2+1}-1} -1 ~ \frac{n^2+2n}{n^2+1}-1$. Per il criterio del confronto asintotico hanno lo stesso carattere le due serie.
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