Studio serie funzioni

[aronp]

come conviene studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale di
S(I(e^(-t^2)dt)x^n)
Dove
S=sommatoria da 0 a inf
I=integrale da n a n+1

[Piera4]

la serie è una serie di potenze,
indicando con a(n)= I(e^(-t^2)dt),
si può dimostrare che
0 <= radice n-esima di a(n) <= radice n-esima di e^(-n^2)
ora radice n-esima e^(-n^2)=e^(-n)-->0 per n-->+inf,
quindi per il criterio del confronto
radice n-esima di a(n) -->0
questo significa che che la serie converge per ogni x,
inoltre ,utilizzando i teoremi sulle serie di potenze,
la convergenza è totale e uniforeme su R.

dimostriamo la prima disuguaglinza

dal teorema della media integrale segue che
I(e^(-t^2)dt)=[n+1-n]*e^(-c(n)^2)=e^(-c(n)^2)
con c(n) apartenente a [n,n+1] per ogni n.
essendo e^(-t^2) decrescente e^(-c(n)^2) <= e^(-n^2)
quindi in definitiva si ha
0 <= I(e^(-t^2)dt) <= e^(-n^2)
prendendo la radice n-esima si ottiene quello che ho
scritto all'inizio.
spero di non aver commesso errori.
il tuo prof è per caso giovanni emmanuele?

[aronp]

si, quindi sei anche tu di catania

[Piera4]

no, io sono di arezzo (toscana),però conosco il sito del tuo prof e possiedo il suo libro di analisi 1 che è veramente scritto bene e ci sono tanti approfondimenti