Studio serie di potenze
Ciao ragazzi, vorrei sapere se ho svolto correttamente il seguente esercizio:
Si determini l'intervallo di convergenza, precisando il comportamento agli estremi, della serie:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n)*x^n $
Notiamo anzitutto che si tratta di una serie di potenze di punto iniziale 0.
Sfruttiamo il teorema di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza:
$ lim_(n -> +oo) [1/(n+1)*sin(pi/(n+1))]*[n*1/sin(pi/n)] $ , che, omettendo i calcoli, dà 1 come risultato. Quindi la serie converge puntualmente e assolutamente in (-1,1).
Bisogna verificare il comportamento agli estremi:
- caso x=-1 : la serie diventa:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n)*(-1)^n $ (**)
Applichiamo il criterio di convergenza assoluta. Dobbiamo provare la convergenza di:
$ sum_(n >= 1) |(1/n)*sin(pi/n)| $ (*)
Applichiamo il criterio del confronto asintotico:
$ |(1/n)*sin(pi/n)| ~ |pi/n^2|=pi/n^2 $ .
Ma la serie $ pi*sum_(n >= 1) 1/n^2 $ , a meno di una costante, è la serie armonica generalizzata, che converge, essendo $ alpha = 2 $ .
Calcoliamo allora il $ lim_(n -> +oo) (1/n)*sin(pi/n)*n^2/pi=1 $ . Per il criterio del confronto asintotico, la serie (*) converge, cioè converge assolutamente ( e quindi anche puntualmente) la serie (**).
- caso x=1: la serie diventa:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n) $, la quale converge assolutamente (e quindi anche puntualmente) perché provato precedentemente.
Dunque l'intervallo di convergenza (assoluta e puntuale) è $ I=[-1,1] $ .
Spero che il procedimento sia giusto, qualora non lo fosse vi prego di indicarmi gli eventuali errori e, se esistono delle vie più veloci per risolvere il problema, vi prego di indicarmi anche quelle, grazie in anticipo
Si determini l'intervallo di convergenza, precisando il comportamento agli estremi, della serie:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n)*x^n $
Notiamo anzitutto che si tratta di una serie di potenze di punto iniziale 0.
Sfruttiamo il teorema di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza:
$ lim_(n -> +oo) [1/(n+1)*sin(pi/(n+1))]*[n*1/sin(pi/n)] $ , che, omettendo i calcoli, dà 1 come risultato. Quindi la serie converge puntualmente e assolutamente in (-1,1).
Bisogna verificare il comportamento agli estremi:
- caso x=-1 : la serie diventa:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n)*(-1)^n $ (**)
Applichiamo il criterio di convergenza assoluta. Dobbiamo provare la convergenza di:
$ sum_(n >= 1) |(1/n)*sin(pi/n)| $ (*)
Applichiamo il criterio del confronto asintotico:
$ |(1/n)*sin(pi/n)| ~ |pi/n^2|=pi/n^2 $ .
Ma la serie $ pi*sum_(n >= 1) 1/n^2 $ , a meno di una costante, è la serie armonica generalizzata, che converge, essendo $ alpha = 2 $ .
Calcoliamo allora il $ lim_(n -> +oo) (1/n)*sin(pi/n)*n^2/pi=1 $ . Per il criterio del confronto asintotico, la serie (*) converge, cioè converge assolutamente ( e quindi anche puntualmente) la serie (**).
- caso x=1: la serie diventa:
$ sum_(n >= 1) (1/n)*sin(pi/n) $, la quale converge assolutamente (e quindi anche puntualmente) perché provato precedentemente.
Dunque l'intervallo di convergenza (assoluta e puntuale) è $ I=[-1,1] $ .
Spero che il procedimento sia giusto, qualora non lo fosse vi prego di indicarmi gli eventuali errori e, se esistono delle vie più veloci per risolvere il problema, vi prego di indicarmi anche quelle, grazie in anticipo
Risposte
Sembra filare tutto liscio.
Come scorciatoia: siccome il caso \(x=1\) coincide col valore assoluto del caso \(x=-1\), se trovi che il primo converge allora sai subito che anche il secondo converge, perché converge assolutamente.
Come scorciatoia: siccome il caso \(x=1\) coincide col valore assoluto del caso \(x=-1\), se trovi che il primo converge allora sai subito che anche il secondo converge, perché converge assolutamente.
Grazie.
Per quanto riguarda la scorciatoia:
l'avevo già presa in considerazione, se leggi quello che ho scritto nel caso x=1
Un'ultima cosa... Ho visto in un libro di esercizi che è possibile calcolare il raggio di convergenza sfruttando il massimo limite secondo la "Formula di Cauchy-Hadamard", per cui si ha:
$ 1/r=lim_(n->+oo) Sup( |a_n|^(1/n) ) $ , con $ a_n= (1/n)*sin(pi/n) $ e credo che in questo caso tale formula semplifichi di molto i calcoli iniziali al posto di applicare il teorema di Cauchy-Hadamard. Che ne dici?
Per quanto riguarda la scorciatoia:
"Raptorista":
siccome il caso \( x=1 \) coincide col valore assoluto del caso \( x=-1 \), se trovi che il primo converge allora sai subito che anche il secondo converge, perché converge assolutamente.
l'avevo già presa in considerazione, se leggi quello che ho scritto nel caso x=1
Un'ultima cosa... Ho visto in un libro di esercizi che è possibile calcolare il raggio di convergenza sfruttando il massimo limite secondo la "Formula di Cauchy-Hadamard", per cui si ha:
$ 1/r=lim_(n->+oo) Sup( |a_n|^(1/n) ) $ , con $ a_n= (1/n)*sin(pi/n) $ e credo che in questo caso tale formula semplifichi di molto i calcoli iniziali al posto di applicare il teorema di Cauchy-Hadamard. Che ne dici?
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