Studio serie di potenze

[denny101]

la serie è: $ sum_(n =1 )^(+oo ) (2^(n)+4^(n))/(n*3^(n))*e^(nx) $, ho trasformato la serie ponendo e^x=y. Dopodichè ho applicato il criterio del rapporto per calcolare il raggio di convergenza,il quale è pari a 3/2.
Ho posto prima y=-3/2 ottenendo: $ sum_(n =1 )^(+oo ) (2^(n)+4^(n))/(n*2)*(-1)^(n) $ che è infinitesima e decrescente, e quindi converge.
Ho posto poi y=3/2 ottenendo: $ sum_(n =1 )^(+oo ) (2^(n)+4^(n))/(n*2) $ , ma non so se converge o meno.
Potete aiutarmi?

[Zurzaza]

Attento, guarda che :

$ sum_(n =1 )^(+oo ) (2^(n)+4^(n))/(n*2) \approx sum_(n =1 )^(+oo ) (4^(n))/(n) $ non converge perchè il termine non è infinitesimo

P.S. Quindi non converge neanche la serie $ sum_(n =1 )^(+oo ) (-1)^n (2^(n)+4^(n))/(n*2)$

[gugo82]

Tra l'altro non mi pare proprio che il raggio di convergenza della serie ausiliaria sia \(3/2\).

[denny101]

hai ragione gugo82, il raggio di convergenza è 3/4. allora per y=-3/4 ottengo: $ sum_(n = 1\ldots)^(+oo) (2^n+4^(n))/(n*4^(n))*(-1)^(n) $ che converge,ma non per y=3/4, giusto?