Studio serie con parametro

[giulia.cavallaro1]

$ sum_(n = 1) ^(+infty)(logx)^n*(1/(n*sqrtn+3)) $
$ sum_(n = 1) ^(+infty)(arctanx)^n*(1/(n^2*sqrtn+1)) $

Ho provato con l'assoluta convergenza, dato che si tratta di serie a termini variabili, ma non so come procedere, potreste svolgerne uno per intero dandomi uno schema generale da seguire?
Grazie, mi siete di grande aiuto.

Edit:
Dunque, vi mostro fino a dove sono arrivata per lo studio della seconda serie:

Studio l'assoluta convergenza, ovvero la serie:
$ sum_(n = 1) ^(+infty)(arctan|x|)^n*(1/(n^2*sqrtn+1)) $

Applico il criterio del rapporto, ossia:
$ lim_(n->+infty)((arctan|x|^(n+1))/((n+1)^2*(sqrt(n+1)+1)))*((n^2*(sqrt(n))+1)/(arctan|x|^n)) $

Semplificando il tutto, ottengo:

$ lim_(n->+infty) (arctan|x|)*((n^2*(sqrt(n))+1)/((n+1)^2*(sqrt(n+1)+1)))= arctan|x| $

Da ciò deduco che:

1) se arctan|x|>1, allora la serie diverge;
2) se arctan|x|<1, allora la serie converge;
3) se arctan|x|=1, allora nulla posso dire circa il carattere della serie (sostituendo i valori ottenuti si studia la serie e si identifica il carattere).

Dunque, per la 2) ottengo: per x>0, arctanx<1, ossia x per x<0, arctan(-x)<1, ossia x>-pi/4
Posso concludere che la serie converge per x compreso tra -pi/4 e pi/4.
Devo verificare i valori agli estremi, per il resto dei valori la serie divergerà.

Perdonatemi se mi sono dilungata, vorrei sapere solo se il procedimento è corretto. Inoltre non riesco a capire come risolvere la questione del punto 3), ossia come studiare la serie che ottengo sostituendo ad x i valori pi/4 e -pi/4.

Grazie a chi leggerà fino in fondo,

Secondo Edit (:-D )

Ho capito ciò che mi confondeva, per verificare il carattere agli estremi mi basta considerare arctan|x|=1 , che consiste nel sistema:

$ { ( arctanx=1, x>0 ),
( arctan(-x)=1, x<0):} $

Ciò mi porta a studiare due serie, di cui una è:

a) $ sum_(n = \1) ^(+infty)(1)^n*(1/(n^2(sqrtn)+1)) $ , che è facilmente risolubile; l'altra non capisco come ottenerla ed eventualmente studiarla, avendo a che fare con arctan(-x).

[ostrogoto1]

Per la prima mi ridurrei a una serie di potenze con $ logx=y $ [naturalmente $ x>0 $ per il logaritmo] e poi per il criterio della radice:
$ lim_(nrarr+oo) (1/(n*sqrtn+3))^(1/n)=1 $
e quindi il raggio di convergenza della serie $ sum_(n = 1) ^(+infty)y^n*(1/(n*sqrtn+3)) $ e' $ R=1 $ . In $ y=1 $ la serie converge in quanto $ (1/(n*sqrtn+3))~1/n^(3/2) $ per $ nrarr+oo $ e in $ y=-1 $ pure in quanto la serie converge assolutamente per $ y=1 $. Concludendo l'intervallo di convergenza e' $ yin[-1,1] $ .

$ sum_(n = 1) ^(+infty)(logx)^n*(1/(n*sqrtn+3)) $ converge per $ |logx|<=1 $ cioe' $ x\in[e^(-1),e] $.

[giulia.cavallaro1]

Perfetto! Così è tutto molto semplice, ho risolto anche l'altra, grazie