Studio serie
Salve,
ho la seguente serie: $\sum_{n=1}^\infty (3n+1)/(n2^n)$
l'esercizio mi chiede di maggiorarla con una serie nota per verificarne la convergenza e poi determinare un valore approssimato della sua somma a meno di $10^-2$.
Io sono riuscito a verificare la convergenza col metodo della radice, ma non riesco a maggiorarla, dritte?
E poi come si approssima il valore della somma?
Grazie mille in anticipo per le risposte.
ho la seguente serie: $\sum_{n=1}^\infty (3n+1)/(n2^n)$
l'esercizio mi chiede di maggiorarla con una serie nota per verificarne la convergenza e poi determinare un valore approssimato della sua somma a meno di $10^-2$.
Io sono riuscito a verificare la convergenza col metodo della radice, ma non riesco a maggiorarla, dritte?
E poi come si approssima il valore della somma?
Grazie mille in anticipo per le risposte.
Risposte
Una stima molto rozza è questa.
Osserva che $\frac{3n+1}{n} \le 4$ per ogni $n\ge 1$.
Detto $a_n$ il termine generale della tua serie, puoi maggiorare in questo modo il resto:
$R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k \le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{4}{2^k} =\frac{4}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}$
$= \frac{8}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n-2}}$.
Se vuoi che l'errore sia inferiore a $10^{-2}$ ti basta prendere $n$ tale che $2^{n-2}\ge 100$; verifichi subito che ti basta $n=9$.
Adesso devi solo sommare i primi 9 termini della serie...
Osserva che $\frac{3n+1}{n} \le 4$ per ogni $n\ge 1$.
Detto $a_n$ il termine generale della tua serie, puoi maggiorare in questo modo il resto:
$R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k \le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{4}{2^k} =\frac{4}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}$
$= \frac{8}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n-2}}$.
Se vuoi che l'errore sia inferiore a $10^{-2}$ ti basta prendere $n$ tale che $2^{n-2}\ge 100$; verifichi subito che ti basta $n=9$.
Adesso devi solo sommare i primi 9 termini della serie...
Non riesco a capire bene in base a cosa si maggiora la serie
Tu hai una serie a termini positivi, convergente.
Per ogni $n\in NN$, puoi definire la somma parziale $n$-esima $s_n$ ed il resto $n$-esimo $R_n$.
Se la serie converge ad $s$, avrai che $s_n+R_n = s$ per ogni $n$.
Poiché $|s-s_n| = |R_n|$, per stimare l'errore devi maggiorare $|R_n|$; in questo caso, la serie è a termini positivi, quindi $R_n \ge 0$, quindi ti basta maggiorare $R_n$.
Quella che ho scritto nel post precedente è una possibile maggiorazione di $R_n$.
Dai conti fatti sai che $R_9 < 10^{-2}$, quindi sai che $|s-s_9| < 10^{-2}$, quindi $s_9$ approssima la somma $s$ con un errore inferiore a $10^{-2}$.
Per ogni $n\in NN$, puoi definire la somma parziale $n$-esima $s_n$ ed il resto $n$-esimo $R_n$.
Se la serie converge ad $s$, avrai che $s_n+R_n = s$ per ogni $n$.
Poiché $|s-s_n| = |R_n|$, per stimare l'errore devi maggiorare $|R_n|$; in questo caso, la serie è a termini positivi, quindi $R_n \ge 0$, quindi ti basta maggiorare $R_n$.
Quella che ho scritto nel post precedente è una possibile maggiorazione di $R_n$.
Dai conti fatti sai che $R_9 < 10^{-2}$, quindi sai che $|s-s_9| < 10^{-2}$, quindi $s_9$ approssima la somma $s$ con un errore inferiore a $10^{-2}$.
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