Studio serie

[nikki1]

avendo queste serie da 1 a inf
1/n^2-atan(1/n^2)
se si vuole conoscere il carattere basta osservare che
atan(1/n^2)è 1/n^2 hanno lo stesso carattere => la serie è identicamente nulla =>converge?

la 1/((x+n)(x+n+2)) può essere ricondotta a una serie di mengoli?

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki
la 1/((x+n)(x+n+2)) può essere ricondotta a una serie di mengoli?

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Q.o. in R, e definitivamente per n \in N: s_n(x) := sum[k=1...n] 1/((x+k)(x+k+2)) = 1/2 * sum[k=1...n] (1/(x+k) - 1/(x+k+2)) = 1/2 * (sum[k=1...n] 1/(x+k) - sum[k=3...n+2] 1/(x+k)) = 1/2 * (1/(x+1) + 1/(x+2) - 1/(x+n+1) - 1/(x+n+2)). Di qui, q.o. in R: sum[n=1...+inf] 1/((x+n)(x+n+2)) = lim[n --> +inf] s_n(x) = 1/2 * (1/(x+1) + 1/(x+2)) = (2x+3)/(2(x+1)(x+2)).

Saluti,
Salvatore Tringali

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki

avendo queste serie da 1 a inf
1/n^2-atan(1/n^2)
se si vuole conoscere il carattere basta osservare che
atan(1/n^2) è 1/n^2 hanno lo stesso carattere => la serie è identicamente nulla =>converge?

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No, non basta! Del resto, non è vero che la "serie è identicamente nulla"... Semmai è vero che il suo termine generale è infinitesimo, per n --> +inf. Ma ci saremmo meravigliati piuttosto del contrario... D'altro canto, tuttavia, stante lo sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin della funzione arcotangente, risulta che, per ogni intero n > 1: arctg(1/n^2) = 1/n^2 + o(1/n^2), cosicché (1/n^2 - arctg(1/n^2)) = o(1/n^2), per n --> +inf. Per il criterio di confronto degli infinitesimi, tanto è sufficiente per concludere che la serie sum[n=1...+inf] (1/n^2 - arctg(1/n^2)) è convergente.