Studio serie

[nikki1]

Non riesco a studiare la convergenza uniforme della seguente serie da 1 a +inf per x>1
(x^n)/(n^2+x^(2n))

[david_e1]

La funzione:

x |--> x^n / ( n^2 + x^(2n) ) x in ] 1 +00 [

Ammette massimo in

x = exp ( log(n) / n ) = P (che appartiene al dominio di interesse)

Infatti la derivata prima e':

x |--> x^n n ( n^2 - x^(2n) ) / ( n^2 + x^(2n))^2 / x

In quel punto LA FUNZIONE vale: 1 / 2n

Quindi la serie di funzioni diverge in almeno un punto di ] 1 +00 [ ( 1/2n ~ 1/n ). Quindi non converge ne puntualmente ne uniformemente.

*** Edit ***
Aggiunta la parte in maiuscolo per migliore comprensibilita' del testo.

[nikki1]

Operando queste maggiorazioni

(x^n)/(n^2+x^(2n))<=(1/x)^n<=(1/2)^n ho convergenza totale per x>=2

[david_e1]

Si ma per 1 < x < 2 la serie diverge almeno in un punto, quindi la convergenza uniforme nell'intervallo ] 1 +00 [ non c'e'. (ma c'e' in [2 +00[)

[nikki1]

e se volessi studiare la convergenza uniforme nell'intervallo ]-00,-1[

[david_e1]

Cosi' ad occhio e croce dovrebbe convergere per Leibniz: infatti lo studio in ]-00 1[ della nostra serie equivale allo studio di:

somme_k=0,+00 di fn

Dove fn= abs((x^n)/(n^2+x^(2n))) (-1)^n

E' chiaramente minorata dalla stessa valutata in x = exp( log(n) / n ). Che diventa:

somme (-1)^n (2n)^(-1)

Che converge per il criterio di Leibniz.