Studio segno funzione a 2 variabili

[lilengels]

salve, devo studiare il segno della seguente funzione :
$f(x,y) = x^2y^2 + x^4 + 2x^2y$

ho impostato la disequazione:

$x^2y^2 + x^4 + 2x^2y >= 0$

$x^2y^2 + x^4 >= -x^2y$

$x^2/2 + y^2/2 + y <= 0$ ottenendo quindi l'equazione di una circonferenza.
ho calcolato il vertice e raggio e risultano : $(0,-1)$ e $1$
ho provato a prendere un punto esterno e uno interno alla circonferenza ma entrambi non verificano la disequazione.
come mai accade?
quali sono i punti soluzione del mio studio?
grazie

[lilengels]

avevo sbagliato dei calcoli....
ora mi risulta che la funzione è $<=0$ per punti interni alla circonferenza e $ >0$ per punti esterni.
è giusto?
grazie

[lilengels]

ora devo calcolare i punti stazionari e la loro natura .
ho trovato infiniti punti stazionari :
$(0,y)$ , $(-1/(sqrt(2)),-1)$ e $(1/(sqrt(2)),-1)$
per gli ultimi due è facile studiarne la natura (essendo il determinante dell'hessiana non nullo in quei punti).
per quanto riguarda gli infiniti punti $(0,y)$ come posso determinarne la natura?
grazie mille

[gio73]

"lilengels":salve, devo studiare il segno della seguente funzione :
$f(x,y) = x^2y^2 + x^4 + 2x^2y$

ho impostato la disequazione:

$x^2y^2 + x^4 + 2x^2y >= 0$

Ciao
io ho pensato così:
la funzione vale 0 nell'origine e lungo l'asse $y$ ed è sempre positiva nel I e II quadrante, poi vado a vedere cosa succede nel III e IV e svolgo la tua stessa disequazione, ecco i miei conti

escludendo l'asse $y$ dove $x=0$

divido tutto per $x^2$
e mi viene
$y^2+x^2+2y>=0$
che effettivamente è l'equazione di una circonferenza, ma
$(y+2)^2+x^2>=4$
il centro è $C(0;-2)$ e il raggio 2.

La funzione è negativa nella regione interna alla circonferenza (escluso il tratto di asse $y$ dove come abbiamo già osservato vale 0), positiva nella regione esterna, nulla lungo la circonferenza.

[lilengels]

sei sicuro del centro? a me è venuto $C(0,-1)$
grazie

[gio73]

Sì hai ragione tu, $C(0;-1$ e raggio 1, scusa.
Per quanto riguarda la natura dei punti che si trovano lungo l'asse y, li vedo così:
una valle da quando y varia da $+oo$ a $0$ e da $-1$ a $-oo$, mentre abbiamo una cordigliera tra $0$ e $-1$.
Ho reso l'idea?

[lilengels]

"gio73":Sì hai ragione tu, $C(0;-1$ e raggio 1, scusa.
Per quanto riguarda la natura dei punti che si trovano lungo l'asse y, li vedo così:
una valle da quando y varia da $+oo$ a $0$ e da $-1$ a $-oo$, mentre abbiamo una cordigliera tra $0$ e $-1$.
Ho reso l'idea?

ad essere sincero non mi è molto chiaro, dato che io solitamente cercavo punti di minimo massimo o sella.
non solo molto pratico di cordigliere e valli

[gio73]

E' colpa mia, a me piace immaginare il grafico di una funzione a due variabili come un paesaggio, le curve di livello corrispondono alle isoipse e il grafico alla superficie del suolo. Ad ogni modo cerco di spiegarmi diversamente:
sei d'accordo che lungo l'asse y la nostra funzione vale 0?
Ora bisogna vedere cosa succede lì vicino: se sia a destra che a sinistra la nostra funzione è positiva allora i punti della retta si trovano a una quota più bassa dei loro vicini, se invece ai lati la nostra funzione è negativa i punti della retta sono più in alto dei loro vicini.
Meglio?

[lilengels]

meglio, grazie!