Studio qualutativo equazione differenziale
Buongiorno a tutti ! Vorrei riuscire a capire come si risolve questo punto dell'esercizio che posto qui di seguito:
dato il sistema di equazioni $ x' = (9-y^2)x , y' =(x^2-7x+12)y $ studiare qualitativamente le soluzioni del sistema per dati iniziali che:
1) appartengono al primo quadrante(inclusi gli assi ) ,
2)che si allontanano all'infinito
3)che restano limitate
4)che escono dal primo quadrante !!
Ora io ho fatto questa osservazione : gli assi cartesiani sono insiemi invarianti per il mio problema,quindi qualunque soluzione che parte con dati iniziali nel primo quadrante non esce da esso e non può intersecare le soluzioni che partono invece dagli assi !!! é giusto???è sufficiente per rispondere alla domanda 1 e 4?? e per gli altri punti come devo fare ??? me lo sapreste spiegare ?? Grazie a chiunque si prenderà la briga di rispondermi !!!
dato il sistema di equazioni $ x' = (9-y^2)x , y' =(x^2-7x+12)y $ studiare qualitativamente le soluzioni del sistema per dati iniziali che:
1) appartengono al primo quadrante(inclusi gli assi ) ,
2)che si allontanano all'infinito
3)che restano limitate
4)che escono dal primo quadrante !!
Ora io ho fatto questa osservazione : gli assi cartesiani sono insiemi invarianti per il mio problema,quindi qualunque soluzione che parte con dati iniziali nel primo quadrante non esce da esso e non può intersecare le soluzioni che partono invece dagli assi !!! é giusto???è sufficiente per rispondere alla domanda 1 e 4?? e per gli altri punti come devo fare ??? me lo sapreste spiegare ?? Grazie a chiunque si prenderà la briga di rispondermi !!!
Risposte
Mi sembra vada bene la risposta per 1-4.
Per quanto riguarda il resto (mantenendo l'analisi al primo quadrante), puoi osservare che $(4,3)$ è un equilibrio stabile, mentre $(3,3)$ è una sella. Se disegni il ritratto di fase vedi che c'è un'omoclina uscente da $(3,3)$ (e rientrante nello stesso punto) che avvolge le soluzioni limitate attorno a $(4,3)$.
Tolte quindi queste soluzioni limitate, l'omoclina e l'altra soluzione entrante in $(3,3)$, tutte le altre vanno a $\infty$.
Se hai Mathematica, puoi visualizzare il ritratto di fase con
StreamPlot[{(9 - y^2) x, (12 - 7 x + x^2) y}, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}]
Per quanto riguarda il resto (mantenendo l'analisi al primo quadrante), puoi osservare che $(4,3)$ è un equilibrio stabile, mentre $(3,3)$ è una sella. Se disegni il ritratto di fase vedi che c'è un'omoclina uscente da $(3,3)$ (e rientrante nello stesso punto) che avvolge le soluzioni limitate attorno a $(4,3)$.
Tolte quindi queste soluzioni limitate, l'omoclina e l'altra soluzione entrante in $(3,3)$, tutte le altre vanno a $\infty$.
Se hai Mathematica, puoi visualizzare il ritratto di fase con
StreamPlot[{(9 - y^2) x, (12 - 7 x + x^2) y}, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}]
Adesso provo pure io a vedere quello che mi hai scritto !!!! Ti riscriverò quindi più tardi per dirti quello che ho scoperto pure io !!!! Sono alle prime armi,quindi ci metterò un pochino !!! Comunque grazie !!!!!
@marge45
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te ne lascio un po', nel caso ne avessi bisogno
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te ne lascio un po', nel caso ne avessi bisogno
Susa se rispondo solo ora,ma ho avuto parecchio da fare !!! Comunque non capisco come i fanno a trovare le soluzioni periodiche !!!!!!! Potresti spiegarmelo please ???? Grazie
In realtà, per quanto riguarda il tuo esercizio, non c'è bisogno di identificare le soluzioni periodiche.
Ti basta sapere che, per il teor. di esistenza e unicità, le soluzioni che partono da un punto della regione racchiusa dall'omoclina rimangono confinate lì dentro (quindi non possono andare all'$\infty$).
Ti basta sapere che, per il teor. di esistenza e unicità, le soluzioni che partono da un punto della regione racchiusa dall'omoclina rimangono confinate lì dentro (quindi non possono andare all'$\infty$).
Ma un'orbita omoclina c'è ogni volta che c'è un punto di sella ????
Non necessariamente. Se hai ad esempio due punti di sella, puoi avere delle eterocline che vanno da uno all'altro.
E come faccio a vedere se ci sono delle soluzioni periodiche ???
A priori non è detto che ci siano soluzioni periodiche.
Ci sono diversi modi per trovarle (non tutti semplici), posto che ce ne siano. Il caso più fortunato è trovare una costante del moto che abbia insiemi di livello compatti (come avviene, ad esempio, per il modello di Lotka-Volterra).
Ci sono diversi modi per trovarle (non tutti semplici), posto che ce ne siano. Il caso più fortunato è trovare una costante del moto che abbia insiemi di livello compatti (come avviene, ad esempio, per il modello di Lotka-Volterra).
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