Studio qualitativo soluzioni equazione differenziale
Ciao a tutti, sto affrontando il problema dello studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale, e sto incontrando parecchie difficoltà perché il mio professore ha fatto UN SOLO esempio.
Ad esempio ho questa equazione:
$y'=e^(sin x)y$
e la richiesta è di studiare il segno delle soluzioni e la loro concavità.
Ho osservato che il campo è di classe C2 su tutto R2, dunque posso applicare il teorema di esistenza e unicità locale.
Inoltre, essendo un campo sublineare, la soluzione è prolungabile su tutto R.
C'è la soluzione stazionaria y=0.
Il segno del campo è positivo per y>0 e negativo per y<0, dunque le soluzioni sono sempre crescenti sopra l'asse x e sempre decrescenti sotto.
Inoltre, per l'unicità della soluzione, esse non possono intersecarsi e dunque ho 3 casi distinti:
- o sono tutte contenute nel I e II quadrante
- o sono tutte contenute nel III e IV quadrante
- o è la soluzione stazionaria y=0
Studiando la concavità mi viene che la derivata di f rispetto a x è $e^(sen x)y(cos x + e^(sen x))$, dunque ci sono dei punti in cui il grafico della soluzione cambia la propria concavità, e questo si ripete periodicamente.
Ma come è possibile se essa è monotona e non può intersecare l'asse x? Per y>0 non sarebbe sensato che essa per
x-->-inf tendesse a 0 anziché oscillare? Non so proprio come dimostrarlo!
Ad esempio ho questa equazione:
$y'=e^(sin x)y$
e la richiesta è di studiare il segno delle soluzioni e la loro concavità.
Ho osservato che il campo è di classe C2 su tutto R2, dunque posso applicare il teorema di esistenza e unicità locale.
Inoltre, essendo un campo sublineare, la soluzione è prolungabile su tutto R.
C'è la soluzione stazionaria y=0.
Il segno del campo è positivo per y>0 e negativo per y<0, dunque le soluzioni sono sempre crescenti sopra l'asse x e sempre decrescenti sotto.
Inoltre, per l'unicità della soluzione, esse non possono intersecarsi e dunque ho 3 casi distinti:
- o sono tutte contenute nel I e II quadrante
- o sono tutte contenute nel III e IV quadrante
- o è la soluzione stazionaria y=0
Studiando la concavità mi viene che la derivata di f rispetto a x è $e^(sen x)y(cos x + e^(sen x))$, dunque ci sono dei punti in cui il grafico della soluzione cambia la propria concavità, e questo si ripete periodicamente.
Ma come è possibile se essa è monotona e non può intersecare l'asse x? Per y>0 non sarebbe sensato che essa per
x-->-inf tendesse a 0 anziché oscillare? Non so proprio come dimostrarlo!
Risposte
"Kea":
ci sono dei punti in cui il grafico della soluzione cambia la propria concavità, e questo si ripete periodicamente.
Ma come è possibile se essa è monotona
può accadere se il grafico è formato da tutte $S$ "incollate" l'una all'altra
Giusto porzio, hai ragione! Però non riesco comunque a spiegarmi come faccia a non intersecare l'asse x se ha questo andamento.
Siamo in ipotesi di unicità, dunque ad un certo punto dovrà pur avere un asintoto...
Siamo in ipotesi di unicità, dunque ad un certo punto dovrà pur avere un asintoto...
magari dico una stupidaggine,ma penso che in teoria sia possibile che il grafico abbia in $-infty$ l'asse delle $x$ come asintoto orizzontale,pur avvicinandosi in maniera "serpentina" (una retta è asintoto se ,semplicemente ,la distanza tra curva e grafico tende a zero,nulla viene detto sul modo di avvicinarsi della curva)
è vero,noi siamo abituati ad un andamento pìù semplice,ma evidentemente questa è una funzione molto strana(non siamo neanche in grado di darle un'espressione)
è vero,noi siamo abituati ad un andamento pìù semplice,ma evidentemente questa è una funzione molto strana(non siamo neanche in grado di darle un'espressione)
Per le informazioni che hai, risulta evidente che:
\[
\lim_{x\to -\infty} y(x) =0
\]
sia se si ha sempre \(y(x)>0\) sia se \(y(x)<0\), mentre:
\[
\lim_{x\to \infty} y(x) =\pm \infty
\]
a seconda di dove vive il grafico della soluzione massimale.
Ciò implica che la soluzione massimale della EDO non è periodica; quindi le zone di concavità e convessità si alternano in maniera regolare, anche se la soluzione assume (probabilmente) forme differenti in ogni intervallo.
\[
\lim_{x\to -\infty} y(x) =0
\]
sia se si ha sempre \(y(x)>0\) sia se \(y(x)<0\), mentre:
\[
\lim_{x\to \infty} y(x) =\pm \infty
\]
a seconda di dove vive il grafico della soluzione massimale.
Ciò implica che la soluzione massimale della EDO non è periodica; quindi le zone di concavità e convessità si alternano in maniera regolare, anche se la soluzione assume (probabilmente) forme differenti in ogni intervallo.
"gugo82":
le zone di concavità e convessità si alternano in maniera regolare, anche se la soluzione assuma forme differenti in ogni intervallo.
Non riesco a capire questo passaggio: come fanno ad alternarsi in maniera regolare e allo stesso tempo avvicinarsi sempre di più all'asse x? Cioè, se si avesse un asintoto le oscillazioni del grafico dovrebbero smorzarsi sempre di più, dunque come possono i punti di flesso succedersi sempre ad intervalli regolari?
In linea di principio, non ci trovo nulla di strano, in realtà... Prova a fare un disegno.
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