Studio qualitativo problema di cauchy
Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno controllasse se è giusto lo svolgimento del seguente esercizio:
Al variare di $ a in RR $ stabilire l'intervallo massimale di definizione della soluzione di
$ { ( y'=e^y(y^2-4) ),( y(0)=a ):} $
Io ho pensato di svolgerlo nel seguente modo:
1)Esistenza e unicità locale
La funzione $ f(t,y)=e^y(y^2-4) $ è continua su tutto $RR$ e anche la sua derivata rispetto a y $(del f)/(del y)(t,y)=e^y(y^2-4)+2ye^y$ è continua su tutto $RR$ quindi esiste unica soluzione locale $ AA a in RR $ con intervallo massimale $ I_(max)=(T_(min),T_(max)) $ tale che $0 in I_(max)$.
Non è possibile applicare il teorema di esistenza e unicità globale in quanto né $ f(t,y) $ né la sua derivata rispetto ad y sono limitati. Allora provo a trovare l'intervallo massimale seguendo un'altra strada.
2) Soluzioni costanti
Le soluzioni costanti si trovano risolvendo
$e^y(y^2-4)=0 $ $ AA t$ quindi sono $y=pm 2$ . Dal momento che le soluzioni non costanti, per unicità della soluzione, non possono intersecare le soluzioni costanti, allora la soluzione del PC $ bar(y(t)) $ risulterà compresa tra le due soluzioni costanti, ovvero: $-2
3) Monotonia soluzione
$ f(t,y) $ è sempre negativa per $-2
4)Limiti
Dal momento che la soluzione è monotona e limitata esistono finiti i limiti per t che tende agli estremi del dominio. Da qui si deduce che $ I_(max)=RR $ in quanto se ad esempio $T_(max)$ fosse finito allora si potrebbe ottenere un prolungamento della soluzione oltre $ T_(max)$ il che è assurdo.
Ho anche calcolato i limiti anche se per la consegna dell'esercizio non penso fosse necessario...
Per quanto detto prima quindi
$lim_(t -> +oo)bar(y(t))=l$ con $2>l>=-2$
Osservo che $lim_(t -> +oo)y'(t)=lim_(t -> +oo)e^y(y^2-4)=e^l(l^2-4)$
Per il teorema dell'asintoto tale limite deve essere nullo quindi si ha necessariamente $l=-2$
In modo analogo ho provato che l'altro limite vale 2...
è corretto? il mio dubbio principale è che ho svolto tutto a prescindere da $a$...ho forse dimenticato di considerare qualche caso? spero di non aver fatto troppi errori
Grazie mille in anticipo a tutti!
Al variare di $ a in RR $ stabilire l'intervallo massimale di definizione della soluzione di
$ { ( y'=e^y(y^2-4) ),( y(0)=a ):} $
Io ho pensato di svolgerlo nel seguente modo:
1)Esistenza e unicità locale
La funzione $ f(t,y)=e^y(y^2-4) $ è continua su tutto $RR$ e anche la sua derivata rispetto a y $(del f)/(del y)(t,y)=e^y(y^2-4)+2ye^y$ è continua su tutto $RR$ quindi esiste unica soluzione locale $ AA a in RR $ con intervallo massimale $ I_(max)=(T_(min),T_(max)) $ tale che $0 in I_(max)$.
Non è possibile applicare il teorema di esistenza e unicità globale in quanto né $ f(t,y) $ né la sua derivata rispetto ad y sono limitati. Allora provo a trovare l'intervallo massimale seguendo un'altra strada.
2) Soluzioni costanti
Le soluzioni costanti si trovano risolvendo
$e^y(y^2-4)=0 $ $ AA t$ quindi sono $y=pm 2$ . Dal momento che le soluzioni non costanti, per unicità della soluzione, non possono intersecare le soluzioni costanti, allora la soluzione del PC $ bar(y(t)) $ risulterà compresa tra le due soluzioni costanti, ovvero: $-2
3) Monotonia soluzione
$ f(t,y) $ è sempre negativa per $-2
4)Limiti
Dal momento che la soluzione è monotona e limitata esistono finiti i limiti per t che tende agli estremi del dominio. Da qui si deduce che $ I_(max)=RR $ in quanto se ad esempio $T_(max)$ fosse finito allora si potrebbe ottenere un prolungamento della soluzione oltre $ T_(max)$ il che è assurdo.
Ho anche calcolato i limiti anche se per la consegna dell'esercizio non penso fosse necessario...
Per quanto detto prima quindi
$lim_(t -> +oo)bar(y(t))=l$ con $2>l>=-2$
Osservo che $lim_(t -> +oo)y'(t)=lim_(t -> +oo)e^y(y^2-4)=e^l(l^2-4)$
Per il teorema dell'asintoto tale limite deve essere nullo quindi si ha necessariamente $l=-2$
In modo analogo ho provato che l'altro limite vale 2...
è corretto? il mio dubbio principale è che ho svolto tutto a prescindere da $a$...ho forse dimenticato di considerare qualche caso? spero di non aver fatto troppi errori
Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Per quanto riguarda il punto 2, la conclusione che tiri è incompleta.
Nota che la posizione di \(y(x)\) rispetto alle due soluzioni costanti \(\bar{y}(x)=2\) e \(\underline{y}(x)=-2\) è completamente determinata dal parametro \(a\): invero se \(a>2\) [risp. \(a<-2\)], il grafico di \(y(x)\) si trova sopra [risp. sotto] al grafico di \(\bar{y}(x)\) [risp. \(\underline{y}(x)\)]; se \(a=2\) [risp. \(a=-2\)], il grafico di \(y(x)\) coincide con quello di \(\bar{y}(x)\) [risp. \(\underline{y}(x)\)]; se \(-2
Ciò importa che anche la conclusione del punto 3 è incompleta: infatti, per \(a>2\) [risp. \(a<-2\)] la tua soluzione \(y(x)\) è strettamente crescente; mentre per \(a=2,-2\) la \(y(x)\) è costante.
Nota che la posizione di \(y(x)\) rispetto alle due soluzioni costanti \(\bar{y}(x)=2\) e \(\underline{y}(x)=-2\) è completamente determinata dal parametro \(a\): invero se \(a>2\) [risp. \(a<-2\)], il grafico di \(y(x)\) si trova sopra [risp. sotto] al grafico di \(\bar{y}(x)\) [risp. \(\underline{y}(x)\)]; se \(a=2\) [risp. \(a=-2\)], il grafico di \(y(x)\) coincide con quello di \(\bar{y}(x)\) [risp. \(\underline{y}(x)\)]; se \(-2
Ciò importa che anche la conclusione del punto 3 è incompleta: infatti, per \(a>2\) [risp. \(a<-2\)] la tua soluzione \(y(x)\) è strettamente crescente; mentre per \(a=2,-2\) la \(y(x)\) è costante.
Ciao,è vero, ho dimenticato di considerare quei casi! grazie 
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