Studio qualitativo problema di Cauchy
Ciao a tutti 
. Ho dei dubbi sul comportamento delle soluzioni del seguente problema di Cauchy:
$\dot{x}(t)=e^(t-x(t))/(x(t))=f(t,x(t))$ con condizione iniziale $\x(\alpha)=1$ con $\alpha$ parametro reale.
Chiamiamo $\J_\alpha$ l'intervallo massimale di definizione della soluzione.
Ora, facendo un po' di conti (che dovrebbero essere giusti
) si ha che $\x(t)> 0$ su $\J_\alpha$, e quindi che $\x(t)$ è strettamente crescente su di esso.
Inoltre, si può far vedere che a destra di $\alpha$ non ci sono esplosioni in tempo finito. Allora la soluzione che ho io mi dice che quindi $\J_\alpha\subset[\alpha, +\infty)$, cioè ammetto che ci sia esistenza globale nel futuro. Questa cosa non mi convince moltissimo, non capisco come posso ricavare dalle informazioni precedenti che allora $\x(t)$ è definita anche in un intorno di $+\infty$.
Spero di essermi spiegata e grazie a chi si interesserà!
. Ho dei dubbi sul comportamento delle soluzioni del seguente problema di Cauchy:$\dot{x}(t)=e^(t-x(t))/(x(t))=f(t,x(t))$ con condizione iniziale $\x(\alpha)=1$ con $\alpha$ parametro reale.
Chiamiamo $\J_\alpha$ l'intervallo massimale di definizione della soluzione.
Ora, facendo un po' di conti (che dovrebbero essere giusti
) si ha che $\x(t)> 0$ su $\J_\alpha$, e quindi che $\x(t)$ è strettamente crescente su di esso. Inoltre, si può far vedere che a destra di $\alpha$ non ci sono esplosioni in tempo finito. Allora la soluzione che ho io mi dice che quindi $\J_\alpha\subset[\alpha, +\infty)$, cioè ammetto che ci sia esistenza globale nel futuro. Questa cosa non mi convince moltissimo, non capisco come posso ricavare dalle informazioni precedenti che allora $\x(t)$ è definita anche in un intorno di $+\infty$.
Spero di essermi spiegata e grazie a chi si interesserà!
Risposte
Se non ho sbagliato i conti, dovresti aver ottenuto la seguente soluzione in forma implicita:
$[(dx)/(dt)=e^(t-x)/x] rarr [(dx)/(dt)=(e^te^(-x))/x] rarr [xe^xdx=e^tdt] rarr [\int_{1}^{x}xe^xdx=\int_{alpha}^{t}e^tdt] rarr$
$rarr [e^x(x-1)]_1^x=[e^t]_alpha^t rarr [e^x(x-1)=e^t-e^alpha]$
$[(dx)/(dt)=e^(t-x)/x] rarr [(dx)/(dt)=(e^te^(-x))/x] rarr [xe^xdx=e^tdt] rarr [\int_{1}^{x}xe^xdx=\int_{alpha}^{t}e^tdt] rarr$
$rarr [e^x(x-1)]_1^x=[e^t]_alpha^t rarr [e^x(x-1)=e^t-e^alpha]$
Sì, anch'io l'ho ottenuta, ma il mio libro fa l'affermazione di esistenza globale nel futuro senza guardare la soluzione implicita.
La forma generale esplicita di un'equazione differenziale del primo ordine risulta essere:
$[(dx)/(dt)=f(t,x)]$
Nel tuo caso:
$[f(t,x)=e^(t-x)/x]$
Dovresti riguardarti il teorema, in particolare le ipotesi sulla funzione $[f(t,x)]$. Se ricordo bene, non dovresti avere problemi ad estendere la soluzione.
$[(dx)/(dt)=f(t,x)]$
Nel tuo caso:
$[f(t,x)=e^(t-x)/x]$
Dovresti riguardarti il teorema, in particolare le ipotesi sulla funzione $[f(t,x)]$. Se ricordo bene, non dovresti avere problemi ad estendere la soluzione.
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