Studio qualitativo problema di Cauchy
Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy
$ { ( y'=arctg(x^2+y^2) ),( y(0)=0 ):} $
1) Mostrare che y(x) è prolungabile a tutto R e studiarne la monotonia
2) Dire se y(x) è pari o dispari, motivare quanto si afferma
3) Mostrare che y(x)->+inf per x->+inf
4) Dire con che ordine y(x) va a +inf per x-> +inf, dimostrare quanto si afferma
5) Dire se y(x) ha asintoto obliquo per x-> +inf
Questo è l'esercizio, credo di saperlo fare, o almeno in parte, però, essendo gli studi qualitativi il mio tallone d'Achille, vi chiedo una mano se sbaglio o se le mie motivazioni non sono corrette.
Così è come ho risolto i vari punti:
1) x^2 +y(x)^2 = 0 solo nell'origine e per tutti gli altri x di R l'argomento della mia funzione è sempre >0, essendo la funzione arctg continua su tutto R, la mia y' è continua su tutto R e sempre > 0 tranne nell'origine dove vale appunto 0. Per questa ragione posso dedurre che la mia y(x) è prolungabile a tutto R ed è sempre crescente tranne nell'origine dove dovrebbe avere un punto di flesso
2) y(x) dispari significa che y(-x) = -y(x), quindi passando alle derivate y'(x) = y'(-x). Andando a sostituire ottengo che
$ arctg(x^2+y(x)^2)= arctg((-x)^2+y(-x)^2) $ che è vero in quanto arctg di un argomento pari è una funzione pari. Deduco quindi che y(x) è dispari
3) $ lim_(x -> +oo )y(x)=+oo $ significa che $ lim_(x -> +oo )y'(x)=a $ con a diverso da 0 e appartenente alla retta reale estesa. andando quindi a calcolare il limite ottengo $ lim_(x -> +oo )arctg((+oo)^2+(+oo)^2)=pi /2 $. Da questo ottengo che è vero quanto mi veniva chiesto
4) Per dimostrare quanto chiesto basta che il limite delle due derivate sia uguale a 1 e quindi la mia y(x) dovrebbe andare a +inf proprio come $ pi/2x $
5) essendo il limite della derivata diverso si da 0 ma anche da + inf allora significa che y(x) ha un asintoto obliquo che è proprio $ pi/2x $
Grazie mille per il vostro tempo... Mi rendo conto che magari è un po lungo da leggere
$ { ( y'=arctg(x^2+y^2) ),( y(0)=0 ):} $
1) Mostrare che y(x) è prolungabile a tutto R e studiarne la monotonia
2) Dire se y(x) è pari o dispari, motivare quanto si afferma
3) Mostrare che y(x)->+inf per x->+inf
4) Dire con che ordine y(x) va a +inf per x-> +inf, dimostrare quanto si afferma
5) Dire se y(x) ha asintoto obliquo per x-> +inf
Questo è l'esercizio, credo di saperlo fare, o almeno in parte, però, essendo gli studi qualitativi il mio tallone d'Achille, vi chiedo una mano se sbaglio o se le mie motivazioni non sono corrette.
Così è come ho risolto i vari punti:
1) x^2 +y(x)^2 = 0 solo nell'origine e per tutti gli altri x di R l'argomento della mia funzione è sempre >0, essendo la funzione arctg continua su tutto R, la mia y' è continua su tutto R e sempre > 0 tranne nell'origine dove vale appunto 0. Per questa ragione posso dedurre che la mia y(x) è prolungabile a tutto R ed è sempre crescente tranne nell'origine dove dovrebbe avere un punto di flesso
2) y(x) dispari significa che y(-x) = -y(x), quindi passando alle derivate y'(x) = y'(-x). Andando a sostituire ottengo che
$ arctg(x^2+y(x)^2)= arctg((-x)^2+y(-x)^2) $ che è vero in quanto arctg di un argomento pari è una funzione pari. Deduco quindi che y(x) è dispari
3) $ lim_(x -> +oo )y(x)=+oo $ significa che $ lim_(x -> +oo )y'(x)=a $ con a diverso da 0 e appartenente alla retta reale estesa. andando quindi a calcolare il limite ottengo $ lim_(x -> +oo )arctg((+oo)^2+(+oo)^2)=pi /2 $. Da questo ottengo che è vero quanto mi veniva chiesto
4) Per dimostrare quanto chiesto basta che il limite delle due derivate sia uguale a 1 e quindi la mia y(x) dovrebbe andare a +inf proprio come $ pi/2x $
5) essendo il limite della derivata diverso si da 0 ma anche da + inf allora significa che y(x) ha un asintoto obliquo che è proprio $ pi/2x $
Grazie mille per il vostro tempo... Mi rendo conto che magari è un po lungo da leggere
Risposte
"Malakia11":
Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy
$ { ( y'=arctg(x^2+y^2) ),( y(0)=0 ):} $
1) Mostrare che y(x) è prolungabile a tutto R e studiarne la monotonia
L'esistenza globale dipende dal fatto che il secondo membro è una funzione limitata.
Come hai già osservato \(y'(x) > 0\) per ogni \(x\neq 0\), dunque \(y\) è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\).
2) Dire se y(x) è pari o dispari, motivare quanto si afferma
Per formalizzare meglio, puoi definire \(z(x) := -y(-x)\) e mostrare che anche \(z\) è soluzione.
3) Mostrare che y(x)->+inf per x->+inf
Ok come hai fatto (ma non scrivere \(+\infty\) negli argomenti delle funzioni...)
4) Dire con che ordine y(x) va a +inf per x-> +inf, dimostrare quanto si afferma
Ok.
5) Dire se y(x) ha asintoto obliquo per x-> +inf
L'affermazione fatta non è corretta; ad esempio, la funzione \(f(x) = x - \log x\) non ha asintoto obliquo, eppure \(\lim_{x\to +\infty} f'(x) = 1\).
PS: per favore non scrivere il titolo tutto in maiuscolo.
Grazie mille per l'aiuto
Quindi come faccio a rispondere al punto 5??
Quindi come faccio a rispondere al punto 5??
Devi dimostrare che esiste finito il limite \(\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{\pi}{2} x - y(x) \right)\).
Che il limite esista, finito o \(+\infty\), segue dal fatto che l'argomento è una funzione monotona crescente.
Per dimostrare che è finito, puoi ad esempio osservare che
\[
0\leq \frac{\pi}{2} x - y(x) = \int_0^x \left(\frac{\pi}{2} - y'(t) \right) dt
\leq \int_0^x \left(\frac{\pi}{2} - \arctan(t^2) \right) dt
\]
e mostrare che l'ultimo integrale è convergente quando \(x\to +\infty\).
PS: riscrivi il titolo senza metterlo tutto in maiuscolo (2).
Che il limite esista, finito o \(+\infty\), segue dal fatto che l'argomento è una funzione monotona crescente.
Per dimostrare che è finito, puoi ad esempio osservare che
\[
0\leq \frac{\pi}{2} x - y(x) = \int_0^x \left(\frac{\pi}{2} - y'(t) \right) dt
\leq \int_0^x \left(\frac{\pi}{2} - \arctan(t^2) \right) dt
\]
e mostrare che l'ultimo integrale è convergente quando \(x\to +\infty\).
PS: riscrivi il titolo senza metterlo tutto in maiuscolo (2).
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