Studio qualitativo problema di cauchy
Dato il PC
y'=y^2 − [cosh(x)]^2
y(0)=a 0
a)studiare esistenza e unicità in piccolo
la f(x,y(x))=y' è C infinito su R^2 allora è contenuta nei lip loc di R^2 uniforme rispetto a x allora per il teorema di esistenza e unicità locale esiste ed è unica la soluzione y(x) in Imax=(b,c) con 0 \in Imax
fin qui nessun problema.
poi chiede di provare che la sol y è globale, studiare la monotonia e i limiti di y(x) per x che tende a ± infinito
e qui iniziano i problemi!!!! qualcuno mi potrebbe aiutare
ho aplicato il teorema del confronto quello per le equazioni differenziali e ho trovato che le regioni da studiare sono x>1 x<1 e
−1
in x>1 (y+coshx)>o sempre ma non so com'è (y− coshx) quindi non posso sapere se la y' è maggiore o minore di 0, ora non riesco ad andare avanti!!!!!!
per favore qualcuno mi aiuti....grazie in anticipo!!!!!!
y'=y^2 − [cosh(x)]^2
y(0)=a 0
a)studiare esistenza e unicità in piccolo
la f(x,y(x))=y' è C infinito su R^2 allora è contenuta nei lip loc di R^2 uniforme rispetto a x allora per il teorema di esistenza e unicità locale esiste ed è unica la soluzione y(x) in Imax=(b,c) con 0 \in Imax
fin qui nessun problema.
poi chiede di provare che la sol y è globale, studiare la monotonia e i limiti di y(x) per x che tende a ± infinito
e qui iniziano i problemi!!!! qualcuno mi potrebbe aiutare
ho aplicato il teorema del confronto quello per le equazioni differenziali e ho trovato che le regioni da studiare sono x>1 x<1 e
−1
in x>1 (y+coshx)>o sempre ma non so com'è (y− coshx) quindi non posso sapere se la y' è maggiore o minore di 0, ora non riesco ad andare avanti!!!!!!
per favore qualcuno mi aiuti....grazie in anticipo!!!!!!
Risposte
Ti suggerisco di imparare ad usare le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html .
ah grazie!!!! non scrivo molto su matematicamente non sapevo si potesse scrivere con latex!!!! la prossima volta lo userò...grazie
Io l'ho risolto. Allora innanzi tutto per vedere che si estende ad $RR$ studi la monotonia. La monotonia ti dará delle condizioni di vincolo per $y(x)$, che avranno a che fare con il coseno iperbolico.... Questi bound ti permettono di concludere che la funzione non esplode all'infinito in alcun punto $b in RR$ cosi ottieni sia monotonia che definizione su $RR$. Per i limiti ti guardi la derivata seconda che sai esistere continua, e con una definizione di convessita guardando le tangenti in 2 punti furbi, ma neanche tanto, concludi. Se vuoi soluzioni piú esplicite non hai che da dirlo.
ho provato a fare qualcosa ma...non so!!! ti dispiacerebbe scrivermi come hai risolto in maniera più dettagliata la parte della monotonia perchè poi i limiti li trovo con il teorema dell'asintoto non sono un problema!!!!!
Non conosco il teorema dell'asintoto, e ho risolto senza.. Insomma il tuo punto di partenza lo hai nella regione del piano dove la funzione deve avere derivata negativa. Questo lo dico semplicemente perché devi avere che
$ y'<0 hArr { ( ycosh(x)):} $
Quindi esiste un intorno dove la derivata é negativa. Quindi é decrescente almeno in un intorno. Supponi per assurdo che poi intersechi $-cosh(x)$ e quando hai trovato l'assurdo... Concludi che per ogni x si deve avere che la funzione é finita per ogni x.
$ y'<0 hArr { ( y
Quindi esiste un intorno dove la derivata é negativa. Quindi é decrescente almeno in un intorno. Supponi per assurdo che poi intersechi $-cosh(x)$ e quando hai trovato l'assurdo... Concludi che per ogni x si deve avere che la funzione é finita per ogni x.
risolto!!!! grazie mille!!!!
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