Studio qualitativo equazione differenziale
Allora l'esercizio è il seguente:
$y'(x)=sqrt(e^y-y)$ studiare qualitativamente l'andamento delle soluzioni.
L'unica cosa che mi viene in mente di fare è studiare i flessi mediante la derivata seconda
$y''(x)=y'(x)(e^y-1)/(2sqrt(e^y-y))$
Così so che ha un flesso per y=0 ed è sempre crescente inoltre per x che tende a + o - infinito la derivata è "infinita"b quindi se la dovessi disegnare verrebbe simile al grafico di $y=sinhx$ però traslato sulle x a seconda della condizione iniziale.
Questo è tutto quello che saprei fare e siccome mi pare un po' poco gradirei suggerimenti.
Un'altro esercizio del genere è: $y''(x)-2y'(x)+y=1/sqrt(1+e^(10x))$ anche qui studio qualitativo ed in particolare dire se esiste una soluzione che tende a 0 per x che tende a infinito. Potrei dire a priori che una tale soluzione avrebbe derivata prima uguale a 0?
Scusate se ho postato due esecizi insieme ma l'ho fatto perchè mi basterebbe anche solo un suggerimento senza noiosi conti per voi. Grazie
$y'(x)=sqrt(e^y-y)$ studiare qualitativamente l'andamento delle soluzioni.
L'unica cosa che mi viene in mente di fare è studiare i flessi mediante la derivata seconda
$y''(x)=y'(x)(e^y-1)/(2sqrt(e^y-y))$
Così so che ha un flesso per y=0 ed è sempre crescente inoltre per x che tende a + o - infinito la derivata è "infinita"b quindi se la dovessi disegnare verrebbe simile al grafico di $y=sinhx$ però traslato sulle x a seconda della condizione iniziale.
Questo è tutto quello che saprei fare e siccome mi pare un po' poco gradirei suggerimenti.
Un'altro esercizio del genere è: $y''(x)-2y'(x)+y=1/sqrt(1+e^(10x))$ anche qui studio qualitativo ed in particolare dire se esiste una soluzione che tende a 0 per x che tende a infinito. Potrei dire a priori che una tale soluzione avrebbe derivata prima uguale a 0?
Scusate se ho postato due esecizi insieme ma l'ho fatto perchè mi basterebbe anche solo un suggerimento senza noiosi conti per voi. Grazie
Risposte
Cosa c'è non vi piacciono gli studi qualitativi delle eq differenziali?
Già un altro mio post sull'argomento è andato deserto.
Allora vi prego nuovamete di aiutarmi, tra una settimana avrò l'esame e siccome sul libro di testo non c'è niente non so proprio come fare. Grazie in anticipo.
Già un altro mio post sull'argomento è andato deserto.
Allora vi prego nuovamete di aiutarmi, tra una settimana avrò l'esame e siccome sul libro di testo non c'è niente non so proprio come fare. Grazie in anticipo.
al primo potresti anche vedere usando taylor per quali valori di y quell'equazione è ben definita...
e come dovrei fare? a me sembra definita per ogni y. Come applico Taylor?
Infatti il termine noto è definito per ogni $y\in RR$ (infatti $"e"^y>y$ identicamente); non vedo a che giovi usare Taylor...
Ad ogni modo, lo studio qualitativo delle soluzioni non è il mio forte, quindi più di ciò che tu hai già detto in precedenza sui tuoi problemi non saprei dirti.
Un'idea che mi viene in mente per il primo problema è: le tue soluzioni sono convesse e strettamente crescenti in $[0,+oo[$; ad occhio non mi pare possibile che ci sia convergenza in $+oo$, quindi la tua soluzione divergerà (positivamente). Che dici?
Ed in $-oo$ possiamo dire qualcosa di simile, sfruttando la concavità?
Ad ogni modo, lo studio qualitativo delle soluzioni non è il mio forte, quindi più di ciò che tu hai già detto in precedenza sui tuoi problemi non saprei dirti.
Un'idea che mi viene in mente per il primo problema è: le tue soluzioni sono convesse e strettamente crescenti in $[0,+oo[$; ad occhio non mi pare possibile che ci sia convergenza in $+oo$, quindi la tua soluzione divergerà (positivamente). Che dici?
Ed in $-oo$ possiamo dire qualcosa di simile, sfruttando la concavità?
forse hai ragione...magari non c vuole proprio taylor. Però:
$e^y-y>=0$ puoi provare a fare la derivata e vedere massimi e minimi. La derivata sarà $y'e^y-y'$ e poi da qui lavora da solo che mi sembra t possa essere + utile
$e^y-y>=0$ puoi provare a fare la derivata e vedere massimi e minimi. La derivata sarà $y'e^y-y'$ e poi da qui lavora da solo che mi sembra t possa essere + utile
forse sto dicendo sciocchezze...a questo punto qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio??
Quello che ha detto gugo82 l'avevo già notato, infatti è anche per quello che secondo me il grafico delle mie soluzioni dovrebe essere simile a sinhx. comunque grazie lostesso. Per quanto riguarda l'altro esercizio? forse potrei dire che se la funz ha un asintoto orizzontale allora la sua derivata sara nulla all'infinito?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo