Studio qualitativo eq. differenziale
Buongiorno,
sto cercando di rappresentare qualitativamente le soluzioni del problema di Cauchy del problema di seguito:
$y′(x) = sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))]$ con la seguente condizione iniziale $ y(0) = 2.$
Mi trovo in difficoltà nel trovare il limite della soluzione agli estremi del dominio...
Prima di tutto dimostro l'esistenza e l'unicità della soluzione su tutto $R^2$
$
D_{y}(y'(x))=abs{(cos(2piy/(1+y^2))(2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2)} \leq1 *abs( (2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2)
$
$
\lim_{y\to \infty}(2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2) =0 $ La derivata è limitata e dunque la funzione risulta Lipschitziana dimostrando quindi l'esistenza e l'unicità globale della soluzione.
Le soluzioni stazionarie sono quelle per cui $sin(2piy/(1+y^2))=0$ quindi risolvendo l'equazione $2piy/(1+y^2)=0+k*pi $ con k $ \in $ Z trovo y(x)=1 per k=1
$sin(2piy/(1+y^2))\geq0$ per ogni $ y \geq0 $ quindi la nostra soluzione risulterà una funzione monotona crescente. Ammette dunque i limiti agli estremi del domino.
Per Calcolare i limiti agli estremi del dominio utilizzo il criterio dell'asintoto, pertanto$ 0=\lim_{x\to - \infty}( sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))]) =sin[(2πl)/(1+l^2)]$ quindi $2pil/(1+l^2)=0+kpi $ dove $ l=\lim_{x\to \infty}(y(x))$ da cui risolvendo per l ottengo l=1
Per quanto riguarda $ 0=\lim_{x\to \infty}( sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))])$ esso non è compatibile con $ \lim_{x\to \infty}(y(x))= \infty$ quindi deve essere necessariamente finito, tuttavia non riesco a calcolarlo in quanto un' analisi come per il caso a $ -\infty $ conduce a l=0, qualcuno saprebbe suggerirmi come procedere in questo caso?
sto cercando di rappresentare qualitativamente le soluzioni del problema di Cauchy del problema di seguito:
$y′(x) = sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))]$ con la seguente condizione iniziale $ y(0) = 2.$
Mi trovo in difficoltà nel trovare il limite della soluzione agli estremi del dominio...
Prima di tutto dimostro l'esistenza e l'unicità della soluzione su tutto $R^2$
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D_{y}(y'(x))=abs{(cos(2piy/(1+y^2))(2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2)} \leq1 *abs( (2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2)
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\lim_{y\to \infty}(2pi(1+y^2)-(4piy^2))/((1+y^2)^2) =0 $ La derivata è limitata e dunque la funzione risulta Lipschitziana dimostrando quindi l'esistenza e l'unicità globale della soluzione.
Le soluzioni stazionarie sono quelle per cui $sin(2piy/(1+y^2))=0$ quindi risolvendo l'equazione $2piy/(1+y^2)=0+k*pi $ con k $ \in $ Z trovo y(x)=1 per k=1
$sin(2piy/(1+y^2))\geq0$ per ogni $ y \geq0 $ quindi la nostra soluzione risulterà una funzione monotona crescente. Ammette dunque i limiti agli estremi del domino.
Per Calcolare i limiti agli estremi del dominio utilizzo il criterio dell'asintoto, pertanto$ 0=\lim_{x\to - \infty}( sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))]) =sin[(2πl)/(1+l^2)]$ quindi $2pil/(1+l^2)=0+kpi $ dove $ l=\lim_{x\to \infty}(y(x))$ da cui risolvendo per l ottengo l=1
Per quanto riguarda $ 0=\lim_{x\to \infty}( sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))])$ esso non è compatibile con $ \lim_{x\to \infty}(y(x))= \infty$ quindi deve essere necessariamente finito, tuttavia non riesco a calcolarlo in quanto un' analisi come per il caso a $ -\infty $ conduce a l=0, qualcuno saprebbe suggerirmi come procedere in questo caso?
Risposte
"AleBoss":
Buongiorno,
sto cercando di rappresentare qualitativamente le soluzioni del problema di Cauchy del problema di seguito:
$y′(x) = sin[(2πy(x))/(1+y^2(x))]$ con la seguente condizione iniziale $ y(0) = 2.$
La soluzione non è \(y(x) = 2\), \(x\in\mathbb{R}\)?
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