Studio Qualitativo EDO secondo Ordine
Salve ragazzi,
Ho frequentato un corso di Analisi 1 nel quale lo studio qualitativo delle soluzioni era stato soltanto accennato come piccole parentesi; con mia grossa sorpresa, vedendo una traccia d'esame, un'esercizio richiedeva proprio questo.
Non sono affatto sicura come vada approcciato e se, effettivamente, si tratti di uno studio qualitativo oppure di uno studio su y(t) una volta che essa sia stata trovata - se possibile - analiticamente e in forma esplicita.
Siccome ciò mi getta nella disperazione più buia vorrei che qualcuno mi aiutasse più o meno a capire come muovermi...
La traccia d'esame dava:
Sia $y(x)$ una soluzione di:
$ y''(x)+ \alpha y'(x) + \beta y(x) = 3e^x $
Verificare:
1) Se $y(0)=y'(0)=0$ allora $y$ è convessa in un intorno $x=0$
2) Se $ \alpha = -9$ e $\beta = 14$ $y$ è una funzione limitata
3) Se $\alpha=-2$ e $\beta=37, e^(-x) y(x)$ è una funzione periodica
Come devo procedere? È corretto, innanzitutto, partire dai teoremi di esistenza/unicità e dopo trattare la cosa come fosse uno studio di funzione? Studiare quindi il segno e le varie derivate? Oppure devo individuare una soluzione y(0) analiticamente?
Non so davvero come si debba approcciare questa tipologia di problemi, se potete farmi vedere come si fa o rimandarmi alla teoria necessaria ( che però il professore NON ha spiegato, ha solo abbozzato) ve ne sarei davvero grata.
Grazie mille.
Ho frequentato un corso di Analisi 1 nel quale lo studio qualitativo delle soluzioni era stato soltanto accennato come piccole parentesi; con mia grossa sorpresa, vedendo una traccia d'esame, un'esercizio richiedeva proprio questo.
Non sono affatto sicura come vada approcciato e se, effettivamente, si tratti di uno studio qualitativo oppure di uno studio su y(t) una volta che essa sia stata trovata - se possibile - analiticamente e in forma esplicita.
Siccome ciò mi getta nella disperazione più buia vorrei che qualcuno mi aiutasse più o meno a capire come muovermi...
La traccia d'esame dava:
Sia $y(x)$ una soluzione di:
$ y''(x)+ \alpha y'(x) + \beta y(x) = 3e^x $
Verificare:
1) Se $y(0)=y'(0)=0$ allora $y$ è convessa in un intorno $x=0$
2) Se $ \alpha = -9$ e $\beta = 14$ $y$ è una funzione limitata
3) Se $\alpha=-2$ e $\beta=37, e^(-x) y(x)$ è una funzione periodica
Come devo procedere? È corretto, innanzitutto, partire dai teoremi di esistenza/unicità e dopo trattare la cosa come fosse uno studio di funzione? Studiare quindi il segno e le varie derivate? Oppure devo individuare una soluzione y(0) analiticamente?
Non so davvero come si debba approcciare questa tipologia di problemi, se potete farmi vedere come si fa o rimandarmi alla teoria necessaria ( che però il professore NON ha spiegato, ha solo abbozzato) ve ne sarei davvero grata.
Grazie mille.
Risposte
Hai provato a risolvere l'equazione differenziale esplicitamente? Non credo che servano dei teoremi, devi solo trovare le soluzioni e verificare le proprietà.
Nella prima basta solo valutare la edo nel punto x=0, nelle altre devi solo risolvere esplicitamente la edo.
Ciao menoxa,
Benvenuta sul forum!
Seguendo il suggerimento di Vulplasir il quesito 1) è immediato perché si ha:
$y''(0) + \alpha y'(0) + \beta y(0) = 3e^0 \implies y''(0) + \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 3 \implies y''(0) > 0 $
Dunque la funzione è convessa in un intorno di $x = 0 $
Per gli altri due quesiti onestamente di qualitativo ci vedo poco, nel senso che come hanno già scritto coloro che mi hanno preceduto occorre determinare la soluzione dell'equazione proposta, ove possiamo supporre $\alpha $ e $\beta $ interi (viste poi le domande 2) e 3)), il che comunque non mi pare insormontabile. Comincerei col risolvere l'equazione omogenea associata:
$ y''(x) + \alpha y'(x) + \beta y(x) = 0 $
avente equazione caratteristica $\lambda^2 + \alpha \lambda + \beta = 0 \implies \lambda_{1,2} = frac{-\alpha \pm sqrt{\alpha^2 - 4\beta}}{2} $
Visti i valori di $\alpha $ e $\beta $ citati nelle domande 2) e 3) siamo sicuri di essere nel caso $\alpha^2 - 4\beta = 81 - 56 = 25 > 0 $ e quindi radici reali e distinte nel caso della domanda 2), nel caso $\alpha^2 - 4\beta = 4 - 148 = - 144 < 0 $ e quindi radici complesse coniuigate nel caso della domanda 3). Dunque per l'omogenea associata si ha:
2) $y_o(x) = c_1 e^{1/2 (- \alpha + sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} + c_2 e^{1/2 (- \alpha - sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} = c_1 e^{1/2 (9 + 5)x} + c_2 e^{1/2 (9 - 5)x} = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} $
3) $y_o(x) = c_1 e^{1/2 (- \alpha + sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} + c_2 e^{1/2 (- \alpha - sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} = c_1 e^{1/2 (2 + 12 i)x} + c_2 e^{1/2 (2 - 12 i)x} = $
$ = c_1 e^{(1 + 6 i)x} + c_2 e^{(1- 6 i)x} = c_1 e^x [cos(6x) + i sin(6x)] + c_2 e^x [cos(6 x) + i sin(6x)] = $
$ = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) $
Per quanto concerne la soluzione particolare $y_p(x) $, visto il termine noto $ 3 e^x $ ipotizziamo che sia del tipo $k e^x $, ottenendo così:
$k + \alpha k + beta k = 3 \implies k = frac{3}{\alpha + \beta + 1} \implies y_p(x) = frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} $
Perciò in definitiva si ha:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = y_o(x) + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} $
ove $y_o(x) $ cambia a seconda dei valori di $\alpha $ e $\beta $:
2) $ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} + frac{ e^x}{2} $
3) $ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} = $
$ = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) + frac{ e^x}{12} = e^x (c_1 cos(6x) + c_2 sin(6x) + frac{1}{12}) $
Benvenuta sul forum!
Seguendo il suggerimento di Vulplasir il quesito 1) è immediato perché si ha:
$y''(0) + \alpha y'(0) + \beta y(0) = 3e^0 \implies y''(0) + \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 3 \implies y''(0) > 0 $
Dunque la funzione è convessa in un intorno di $x = 0 $
Per gli altri due quesiti onestamente di qualitativo ci vedo poco, nel senso che come hanno già scritto coloro che mi hanno preceduto occorre determinare la soluzione dell'equazione proposta, ove possiamo supporre $\alpha $ e $\beta $ interi (viste poi le domande 2) e 3)), il che comunque non mi pare insormontabile. Comincerei col risolvere l'equazione omogenea associata:
$ y''(x) + \alpha y'(x) + \beta y(x) = 0 $
avente equazione caratteristica $\lambda^2 + \alpha \lambda + \beta = 0 \implies \lambda_{1,2} = frac{-\alpha \pm sqrt{\alpha^2 - 4\beta}}{2} $
Visti i valori di $\alpha $ e $\beta $ citati nelle domande 2) e 3) siamo sicuri di essere nel caso $\alpha^2 - 4\beta = 81 - 56 = 25 > 0 $ e quindi radici reali e distinte nel caso della domanda 2), nel caso $\alpha^2 - 4\beta = 4 - 148 = - 144 < 0 $ e quindi radici complesse coniuigate nel caso della domanda 3). Dunque per l'omogenea associata si ha:
2) $y_o(x) = c_1 e^{1/2 (- \alpha + sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} + c_2 e^{1/2 (- \alpha - sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} = c_1 e^{1/2 (9 + 5)x} + c_2 e^{1/2 (9 - 5)x} = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} $
3) $y_o(x) = c_1 e^{1/2 (- \alpha + sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} + c_2 e^{1/2 (- \alpha - sqrt{\alpha^2 - 4\beta})x} = c_1 e^{1/2 (2 + 12 i)x} + c_2 e^{1/2 (2 - 12 i)x} = $
$ = c_1 e^{(1 + 6 i)x} + c_2 e^{(1- 6 i)x} = c_1 e^x [cos(6x) + i sin(6x)] + c_2 e^x [cos(6 x) + i sin(6x)] = $
$ = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) $
Per quanto concerne la soluzione particolare $y_p(x) $, visto il termine noto $ 3 e^x $ ipotizziamo che sia del tipo $k e^x $, ottenendo così:
$k + \alpha k + beta k = 3 \implies k = frac{3}{\alpha + \beta + 1} \implies y_p(x) = frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} $
Perciò in definitiva si ha:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = y_o(x) + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} $
ove $y_o(x) $ cambia a seconda dei valori di $\alpha $ e $\beta $:
2) $ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} = c_1 e^{7x} + c_2 e^{2x} + frac{ e^x}{2} $
3) $ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) + frac{3 e^x}{\alpha + \beta + 1} = $
$ = c_1 e^x cos(6x) + c_2 e^x sin(6x) + frac{ e^x}{12} = e^x (c_1 cos(6x) + c_2 sin(6x) + frac{1}{12}) $
Che poi lo studio qualitativo delle edo si limita a studiarle in un intorno di qualche punto oppure in qualche intervallo limitato, qui le soluzioni sono valide su tutto $RR$ quindi non si puó fare nessuno studio qualitativo
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