Studio qualitativo di un'equazione differenziale
Sono disperato... sto facendo le equazioni differenziali e ci chiedono di farne uno studio qualitativo...al ricevimento ho provato a chiedere al prof come si fa uno sutdio del genere... lui mi ha praticamente detto che non c'è un metodo fisso, ma si fa piu o meno ad occhio... detto questo, ho provato a capire gli esercizi che ha fatto durante la lezione... e piu o meno fino ad un certo punto ci sono arrivato, però poi mi blocco in due punti:
-il limite a piu infinito;
-intersezione con il grafico del gradiente nullo;
ad esempio abbiamo studiato il seguente problema di Cauchy:
$y' = 1/y - x
y(1)=1$
E non riesco a far vedere perchè il limite per x che tende a più inifito faccia zero in modo rigoroso (il professore ha escluso che potesse tendere a meno infinto tirando fuori il teorema di Lagrange), perchè si lo vedo che per motivi di derivata prima rimane schiacciato verso l'iperbole, però non credo che al professore vada bene. E sempre a senso capisco che il mio grafico non possa attraversare il grafico dell'iperbole sempre per ragione di derivata (almeno credo), però non riesco a spiegare in modo rigoroso il perchè y' non possa toccare l'iperbole (iperbole venuta fuori ponendo y' = 0).
Grazie dell'aiuto e dell'attenzione...
-il limite a piu infinito;
-intersezione con il grafico del gradiente nullo;
ad esempio abbiamo studiato il seguente problema di Cauchy:
$y' = 1/y - x
y(1)=1$
E non riesco a far vedere perchè il limite per x che tende a più inifito faccia zero in modo rigoroso (il professore ha escluso che potesse tendere a meno infinto tirando fuori il teorema di Lagrange), perchè si lo vedo che per motivi di derivata prima rimane schiacciato verso l'iperbole, però non credo che al professore vada bene. E sempre a senso capisco che il mio grafico non possa attraversare il grafico dell'iperbole sempre per ragione di derivata (almeno credo), però non riesco a spiegare in modo rigoroso il perchè y' non possa toccare l'iperbole (iperbole venuta fuori ponendo y' = 0).
Grazie dell'aiuto e dell'attenzione...
Risposte
Anche io sto affrontando studi qualitativi, e in effetti non mi pare ci sia un metodo standard, bisogna usare la fantasia!
Passando al caso specifico:
mi pare che le tue intuizioni siano buone, ovvero se chiamiamo [tex]$y$[/tex] la soluzione allora non può intersecare l'iperbole equilatera per [tex]$x>1$[/tex].
Un modo per dimostrarlo è:
intanto notare che in un intorno destro di [tex]$1$[/tex] la funzione è decrescente, ma sta sopra all'iperbole perchè in [tex]$1$[/tex] ha derivata 0.
Poi se [tex]$y$[/tex] interseca tale iperbole in un punto diciamo [tex]$x_0>1$[/tex] allora chiaramente [tex]$y'(x_0)=0$[/tex]
Ma questo è assurdo, e purtroppo non riesco a esprimerlo bene a parole: il punto è che la funzione sta vicino alla sua retta tangente, che è orizzontale, in un intorno abbastanza piccolo, e quindi dovrebbe stare sotto la retta obliqua che è invece la tangente all'iperbole nel punto [tex]$x_0$[/tex], ovvero [tex]$y$[/tex] deve stare sotto all' iperbole stessa, ma quindi devono essersi incontrate già prima, ma non va bene (si può formalizzare prendendo l' inf dei punti in cui la funzioni si incontrano..)
Allora riesci facilmente a dimostrare che la derivata è negativa, quindi la funzione è sempre decrescente, e allora ammette limite, ma siccome resta sempre sopra l'iperbole, tale limite è maggiore o uguale di [tex]$0$[/tex]. ma se fosse diverso da [tex]$0$[/tex], avrebbe asintoto orizzontale con derivata che tende a meno infinito, e questo è assurdo.
Passando al caso specifico:
mi pare che le tue intuizioni siano buone, ovvero se chiamiamo [tex]$y$[/tex] la soluzione allora non può intersecare l'iperbole equilatera per [tex]$x>1$[/tex].
Un modo per dimostrarlo è:
intanto notare che in un intorno destro di [tex]$1$[/tex] la funzione è decrescente, ma sta sopra all'iperbole perchè in [tex]$1$[/tex] ha derivata 0.
Poi se [tex]$y$[/tex] interseca tale iperbole in un punto diciamo [tex]$x_0>1$[/tex] allora chiaramente [tex]$y'(x_0)=0$[/tex]
Ma questo è assurdo, e purtroppo non riesco a esprimerlo bene a parole: il punto è che la funzione sta vicino alla sua retta tangente, che è orizzontale, in un intorno abbastanza piccolo, e quindi dovrebbe stare sotto la retta obliqua che è invece la tangente all'iperbole nel punto [tex]$x_0$[/tex], ovvero [tex]$y$[/tex] deve stare sotto all' iperbole stessa, ma quindi devono essersi incontrate già prima, ma non va bene (si può formalizzare prendendo l' inf dei punti in cui la funzioni si incontrano..)
Allora riesci facilmente a dimostrare che la derivata è negativa, quindi la funzione è sempre decrescente, e allora ammette limite, ma siccome resta sempre sopra l'iperbole, tale limite è maggiore o uguale di [tex]$0$[/tex]. ma se fosse diverso da [tex]$0$[/tex], avrebbe asintoto orizzontale con derivata che tende a meno infinito, e questo è assurdo.
Il ragionamento di blackbishop è corretto.
Per quanto riguarda la dimostrazione che la soluzione non interseca l'iperbole, basta considerare l'insieme $S = \{x>1: y(x) = 1/x\}$.
Supponiamo per assurdo che $S\ne \emptyset$.
Come è già stato osservato, esiste $\delta>0$ t.c. $S\subset [1+\delta, +\infty)$.
Inoltre, poiché la soluzione $y(x)$ è continua, l'insieme $S$ è chiuso; essendo inferiormente limitato, esso ammette anche minimo:
$x_0 := "min" S \ge 1+\delta$.
A questo punto sappiamo che $y(x) > 1/x$ per $x\in (1, x_0)$, e che $y(x_0) = 1/x_0$; questo implica, in particolare, che
$y'(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0} \le \lim_{x\to x_0^-} \frac{1/x - 1/x_0}{x-x_0} = -\frac{1}{x_0^2}<0,$
in contraddizione col fatto che dall'equazione differenziale abbiamo che $y'(x_0) = 0$.
Per quanto riguarda la dimostrazione che la soluzione non interseca l'iperbole, basta considerare l'insieme $S = \{x>1: y(x) = 1/x\}$.
Supponiamo per assurdo che $S\ne \emptyset$.
Come è già stato osservato, esiste $\delta>0$ t.c. $S\subset [1+\delta, +\infty)$.
Inoltre, poiché la soluzione $y(x)$ è continua, l'insieme $S$ è chiuso; essendo inferiormente limitato, esso ammette anche minimo:
$x_0 := "min" S \ge 1+\delta$.
A questo punto sappiamo che $y(x) > 1/x$ per $x\in (1, x_0)$, e che $y(x_0) = 1/x_0$; questo implica, in particolare, che
$y'(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0} \le \lim_{x\to x_0^-} \frac{1/x - 1/x_0}{x-x_0} = -\frac{1}{x_0^2}<0,$
in contraddizione col fatto che dall'equazione differenziale abbiamo che $y'(x_0) = 0$.
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