Studio qualitativo di un'equazione differenziale

[Keyzan]

Buonasera ragazzi propongo un esercizio:

Studio qualitativo di questa equazione differenziale:
$ y'=y/(x^2+y^2-1)$ con $ y(a) = c $, dove $0
1) Provare che $y>0$ in $(a,b)$

Per fare ciò ho iniziato studiando la regolarità della $y'$. Deve essere:
$x^2+y^2-1 != 0$ che implica $ x^2 +y^2 != 1$
Di conseguenza dobbiamo considerare per il problema di Cauchy ( dal momento che $y(0) = c$ con $0
In questo caso la $y'$ è di classe $C^oo$, di conseguenza dal momento che la derivata parziale di $f(x,y)=y'$ rispetto ad y è continua possiamo applicare il teorema di esistenza ed unicità locale (non possiamo applicare il teorema di esistenza e unicità globale dato che la $f(x,y)$ non è limitata) e dire che la soluzione esiste ed è unica in un intervallo massimale che chiameremo $J$ intorno ad $x=0$

Possiamo adesso andare a studiare le soluzioni di equilibrio:
$y'=0hArr y=0$
Dato che questa soluzione non può essere varcata e dal momento che $y(0)=c$ con $00$ in $(a,b)$.

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2) Provare che $y$ è decrescente in $(a,b)$

Per provarlo studio:
$y'>0 hArr y/(x^2+y^2-1)>0$
i) $y>0$
ii) $x^2+y^2>1$
Da qui ricavo che in $0
Fin qui il ragionamento tutto giusto?
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I problemi nascono con il terzo ed il quarto punto:

3) Provare che $-1a$ e soddisfa $ a^2 + l^2 =1$

Non so proprio come procede, non mi viene in mente niente purtroppo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi. Siete grandi ragazzi, un abbraccio!

[gugo82]

I punti del grafico di una soluzione massimale si accumulano alla frontiera del dominio del secondo membro...

[Keyzan]

Ok, forse ho capito. In pratica devo dire che se $c=0$ allora ottengo $y(a)=0$. Dal momento che la soluzione massimale si accumula alla frontiera del dominio di $y'$, dobbiamo considerare che per $y(a)=0$ a si accumula sulla frontiera, quindi $a=-1$. Invece nel caso in cui $c=1$ ottengo $y(a)=1$, $a$ è già un punto del dominio della $y'$, infatti $ a=0$, di conseguenza si ha che $1a$ ed è uguale all'estremo inferiore della soluzione nell'intervallo $(a,b)$. Questo punto si troverà quindi in corrispondenza di $a$ e sulla semicirconferenza $x^2+y^2 = 1$ dove sostituendo le coordinate del punto ottengo: $a^2+l^2=1$.
Il ragionamento è giusto?