Studio qualitativo di un'equazione differenziale
Ciao a tutti ragazzi, sto provando a risolvere questo esercizio da due giorni ma non ci sto riuscendo. Qualcuno dall'animo gentile potrebbe aiutarmi? 
-----------------------
Sia y la soluzione massimale del problema di Cauchy:
$ y' = y^2 - 1/(1+x^2) $
$ y(0) = 1, x>= 0 $
sia $ [0,b[ $ il suo intervallo di definizione.
(i) Calcolare lo sviluppo di Taylor di y centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(ii) Provare che y è crescente in $ [0,b[ $ .
(iii) Provare che y è convessa in $ [0,b[ $ .
(iv) Provare che $ b< oo $ .
----------------------
Ho provato a risolvere l'eq. differenziale in tutti i modi ma è stato inutile.
Vi ringrazio in anticipo!!
-----------------------
Sia y la soluzione massimale del problema di Cauchy:
$ y' = y^2 - 1/(1+x^2) $
$ y(0) = 1, x>= 0 $
sia $ [0,b[ $ il suo intervallo di definizione.
(i) Calcolare lo sviluppo di Taylor di y centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(ii) Provare che y è crescente in $ [0,b[ $ .
(iii) Provare che y è convessa in $ [0,b[ $ .
(iv) Provare che $ b< oo $ .
----------------------
Ho provato a risolvere l'eq. differenziale in tutti i modi ma è stato inutile.
Vi ringrazio in anticipo!!
Risposte
Grazie mille! Il primo punto è stato immediato, però ho trovato qualche difficoltà negli altri.
Per quanto riguarda il secondo punto, ho studiato la derivata prima:
$ y'>0 $
$ y^2 -1/(1+x^2)>0 -> y^2 > 1/(1+x^2) -> y>+- (1/(1+x^2))^(1/2) $
Quindi:
$ y<-(1/(1+x^2))^(1/2) ^^ y>(1/(1+x^2))^(1/2) $
Adesso non capisco come determinare se y è crescente in $ [a,b[ $
Per il terzo punto è ancora peggio. Studio la derivata seconda:
$ y''=2y' y + 2x/(1+x^2)^2 $
$ y''>0 -> 2y' y + 2x/(1+x^2)^2>0 -> y'> -x/(y(1+x^2)^2) $
Da qui posso sostituire y':
$ 2(y^2 - 1/(1+x^2)) y + 2x/(1+x^2)^2>0 $
però poi mi blocco. Dato che il professore non ha mai spiegato queste cose c'è tanta confusione.
Qualcuno potrebbe darmi una mano pleasee?
Per quanto riguarda il secondo punto, ho studiato la derivata prima:
$ y'>0 $
$ y^2 -1/(1+x^2)>0 -> y^2 > 1/(1+x^2) -> y>+- (1/(1+x^2))^(1/2) $
Quindi:
$ y<-(1/(1+x^2))^(1/2) ^^ y>(1/(1+x^2))^(1/2) $
Adesso non capisco come determinare se y è crescente in $ [a,b[ $
Per il terzo punto è ancora peggio. Studio la derivata seconda:
$ y''=2y' y + 2x/(1+x^2)^2 $
$ y''>0 -> 2y' y + 2x/(1+x^2)^2>0 -> y'> -x/(y(1+x^2)^2) $
Da qui posso sostituire y':
$ 2(y^2 - 1/(1+x^2)) y + 2x/(1+x^2)^2>0 $
però poi mi blocco. Dato che il professore non ha mai spiegato queste cose c'è tanta confusione.
Qualcuno potrebbe darmi una mano pleasee?
Ma non è esattamente lo stesso problema dell'altro topic? Se che quel topic è un po' confusionario, perché ci sono stati degli errori, ma prova ugualmente a leggerlo, l'esercizio è stato risolto interamente lì.
"Keyzan":
Ho provato a risolvere l'eq. differenziale in tutti i modi ma è stato inutile.
In verità, si chiama studio qualitativo delle soluzioni il procedimento che consente di determinare le proprietà importanti della soluzione massimale di un P.d.C. (o delle soluzioni massimali di una E.D.O.)[nota]Cioè, dominio, regolarità, esistenza di asintoti, monotonia, convessità, etc...[/nota] senza che sia necessario calcolarla esplicitamente.
Quindi, il più delle volte, quando fai uno studio qualitativo non puoi aspettarti che sia possibile risolvere esplicitamente la E.D.O. od il P.d.C. su cui lavori.
"dissonance":
Ma non è esattamente lo stesso problema dell'altro topic? Se che quel topic è un po' confusionario, perché ci sono stati degli errori, ma prova ugualmente a leggerlo, l'esercizio è stato risolto interamente lì.
Sì l'ho letto ma come ho scritto sopra non riesco a capire come fa a dire che se la derivata prima è maggiore di zero quando:
$ y<-(1/(1+x^2))^(1/2) ^^ y>(1/(1+x^2))^(1/2) $
siccome $ x>=0 $ e y definita in $ [0,b[ $ , allora y è crescente in $ [0,b[ $ .
Comunque in quel topic sono stati risolti solo i primi due punti purtroppo.
"gugo82":
[quote="Keyzan"]Ho provato a risolvere l'eq. differenziale in tutti i modi ma è stato inutile.
In verità, si chiama studio qualitativo delle soluzioni il procedimento che consente di determinare le proprietà importanti della soluzione massimale di un P.d.C. (o delle soluzioni massimali di una E.D.O.)[nota]Cioè, dominio, regolarità, esistenza di asintoti, monotonia, convessità, etc...[/nota] senza che sia necessario calcolarla esplicitamente.
Quindi, il più delle volte, quando fai uno studio qualitativo non puoi aspettarti che sia possibile risolvere esplicitamente la E.D.O. od il P.d.C. su cui lavori.
[/quote]Sì l'ho capito solo adesso
, ma purtroppo non riesco a trovare esercizi simili a questo online
Ne ho svolti diversi qui sul forum: prova a cercare.
Inoltre, un riferimento per questo tipo di esercizi è l’eserciziario di Acerbi, Modica e Spagnolo, volume 2.
Inoltre, un riferimento per questo tipo di esercizi è l’eserciziario di Acerbi, Modica e Spagnolo, volume 2.
Gugo non voglio sminuire i tuoi interventi che sono ottimi didatticamente (e non solo) . Ma qua non è questione di "trovare altri esercizi", proprio LO STESSO esercizio è stato risolto nell'altro topic, tutti i punti tranne l'ultimo. Non vedo perché rifare tutto daccapo qua.
@Keyzan: Se qualcosa non è chiaro dell'altro topic, prova a chiedere facendo riferimento a cosa è stato fatto lì. Il fatto che \(y'(x)>0\) è stato stabilito usando una analisi grafica: la funzione \(y(x)\) parte con tangente orizzontale in \(x=0\) e poi si dimostra che non può entrare nella regione in cui la derivata è negativa.
@Keyzan: Se qualcosa non è chiaro dell'altro topic, prova a chiedere facendo riferimento a cosa è stato fatto lì. Il fatto che \(y'(x)>0\) è stato stabilito usando una analisi grafica: la funzione \(y(x)\) parte con tangente orizzontale in \(x=0\) e poi si dimostra che non può entrare nella regione in cui la derivata è negativa.
@dissonance:
Figurati, si capisce che è inutile ripetere lo stesso esercizio...
Tuttavia rispondevo a questa richiesta:
Figurati, si capisce che è inutile ripetere lo stesso esercizio...
Tuttavia rispondevo a questa richiesta:
"Keyzan":
[...] purtroppo non riesco a trovare esercizi simili a questo online
"dissonance":
Gugo non voglio sminuire i tuoi interventi che sono ottimi didatticamente (e non solo) . Ma qua non è questione di "trovare altri esercizi", proprio LO STESSO esercizio è stato risolto nell'altro topic, tutti i punti tranne l'ultimo. Non vedo perché rifare tutto daccapo qua.
@Keyzan: Se qualcosa non è chiaro dell'altro topic, prova a chiedere facendo riferimento a cosa è stato fatto lì. Il fatto che \(y'(x)>0\) è stato stabilito usando una analisi grafica: la funzione \(y(x)\) parte con tangente orizzontale in \(x=0\) e poi si dimostra che non può entrare nella regione in cui la derivata è negativa.
Scusatemi non avevo visto le altre pagine…
Della parte risolta è tutto chiaro, l'ultimo problema è il punto (iv). Secondo me, dal momento che non posso studiare direttamente il dominio di y, dovrei studiare il dominio di y' per poi trovare b ma così facendo non arrivo a nessuna conclusione.
"Keyzan":
Della parte risolta è tutto chiaro
Meno male, io confesso di avere riletto l'altro topic e di non averci capito niente, ci sono stati moltissimi errori. Devi leggere nelle risposte di Vulplasir, è stato l'unico a non avere sbagliato, e ha proposto una soluzione corretta e fatta bene.
, l'ultimo problema è il punto (iv). Secondo me, dal momento che non posso studiare direttamente il dominio di y, dovrei studiare il dominio di y' per poi trovare b ma così facendo non arrivo a nessuna conclusione.
Lì la strategia è questa: per \(t\) molto grandi il termine \((1+t^2)^{-1}\) è molto piccolo, quindi la soluzione deve assomigliare ad una soluzione di \(y'=y^2\). E quest'ultima equazione è integrabile esplicitamente, e tutte le sue soluzioni esplodono in tempo finito. Di conseguenza, anche la soluzione dell'equazione assegnata deve esplodere in tempo finito.
Questa è detta proprio alla buona, bisogna formalizzare parecchio.
Ok, quindi ogni volta che il problema mi chiede di trovare gli estremi dell'intervallo di definizione della y devo trovare il modo di risolvere l'equazione differenziale.
Comunque grazie mille per la pazienza
Sì è stata dura ma credo di aver capito.
Comunque grazie mille per la pazienza
"dissonance":
Meno male, io confesso di avere riletto l'altro topic e di non averci capito niente, ci sono stati moltissimi errori. Devi leggere nelle risposte di Vulplasir, è stato l'unico a non avere sbagliato, e ha proposto una soluzione corretta e fatta bene.
Sì è stata dura ma credo di aver capito.
"Keyzan":
Ok, quindi ogni volta che il problema mi chiede di trovare gli estremi dell'intervallo di definizione della y devo trovare il modo di risolvere l'equazione differenziale.
Se vuoi trovare gli estremi esatti, si. Altrimenti, come in questo caso, no. Sei sicuro di avere ben afferrato il concetto? Vale anche per l'altro topic.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo