Studio qualitativo di una ODE
Ciao a tutti! L'esercizio è il seguente (Pagani, Salsa, Analisi matematica 2 seconda edizione, p. 198):
Dato il problema di Cauchy \(\displaystyle y'=\arctan y - \frac{1}{t} , y(1)=b>0\)
1)dimostrare unicità ed esistenza locale
2)determinare l'intervallo massimale di esistenza \(\displaystyle J_b \)
3)per i b tali che \(\displaystyle J_b=(0, +\infty) \) stabilire se esistono asintoti obliqui
4)dimostrare che esiste un unico b tale che \(\displaystyle J_b=(0,+\infty) \) e\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}=0 \)
Ecco il mio svolgimento (fin dove sono riuscito!)
1&2) \(\displaystyle y'=f(t,y)=arctan(y)-\frac{1}{t}\) è Lipschitziana in y per intorni sufficientemente piccoli di \(\displaystyle (1, b) \) (unicità locale) ed è di classe \(\displaystyle C^{\infty} \), almeno per \(\displaystyle t>0 \).
Dunque l'intervallo massimale di esistenza è, per ogni b, \(\displaystyle (0, +\infty) \).
3) \(\displaystyle y'=\arctan y - \frac{1}{t}\leq\pi/2-\frac{1}{t} \), dunque sappiamo che la crescita di y è, al più, sublineare (allo stesso modo si vede infatti che \(\displaystyle y'\geq-\pi/2 \). Da qui come posso continuare?
Dato il problema di Cauchy \(\displaystyle y'=\arctan y - \frac{1}{t} , y(1)=b>0\)
1)dimostrare unicità ed esistenza locale
2)determinare l'intervallo massimale di esistenza \(\displaystyle J_b \)
3)per i b tali che \(\displaystyle J_b=(0, +\infty) \) stabilire se esistono asintoti obliqui
4)dimostrare che esiste un unico b tale che \(\displaystyle J_b=(0,+\infty) \) e\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}=0 \)
Ecco il mio svolgimento (fin dove sono riuscito!)
1&2) \(\displaystyle y'=f(t,y)=arctan(y)-\frac{1}{t}\) è Lipschitziana in y per intorni sufficientemente piccoli di \(\displaystyle (1, b) \) (unicità locale) ed è di classe \(\displaystyle C^{\infty} \), almeno per \(\displaystyle t>0 \).
Dunque l'intervallo massimale di esistenza è, per ogni b, \(\displaystyle (0, +\infty) \).
3) \(\displaystyle y'=\arctan y - \frac{1}{t}\leq\pi/2-\frac{1}{t} \), dunque sappiamo che la crescita di y è, al più, sublineare (allo stesso modo si vede infatti che \(\displaystyle y'\geq-\pi/2 \). Da qui come posso continuare?
Risposte
Probabilmente questo stesso problema è già stato affrontato su queste pagine.
Prova ad usare la funzione Cerca.
Prova ad usare la funzione Cerca.
"gugo82":
Probabilmente questo stesso problema è già stato affrontato su queste pagine.
Salve Gugo. In effetti questo problema è già stato risolto qui[nota]https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=8353315#p8353315%20[/nota]... da Gugo!
Per quanto riguarda il punto 4... Mboh. E' chiaro che se una soluzione "va a morire" da qualche parte lo fa tendendo a 0. Ma non saprei dimostrare che questa soluzione esista e sia unica.
Ho una possibile dimostrazione del punto 4!
Consideriamo l'insieme dei punti per cui \(\displaystyle y'=0 , t=\frac{1}{\arctan y} \).
Le soluzioni sono decrescenti sotto quest'iperbole, crescenti al di sopra.
Sia \(\displaystyle b_0=\inf{\{u(1): u(t) \in U}\} \), dove U è l'insieme delle soluzioni che intersecano l'iperbole.
Sicuramente \(\displaystyle b_0>0\) in quanto \(\displaystyle u(1)>u(t)>0 \).
Non potendo intersecare altre soluzioni, la soluzione \(\displaystyle u_0(t; 1, b_0) \) sta sotto l'iperbole.
Dimostriamo ora che \(\displaystyle u_0>0 \).
Se esistesse T tale che \(\displaystyle u_0(T)=0 \), potremmo considerare \(\displaystyle u_1 \) tale che \(\displaystyle u_1(T+dt)=0 \). Sicuramente questa funzione esisterebbe (sono soddisfatte le ipotesi di esistenza e unicità locale per ogni \(\displaystyle t\neq 0 \)) e, in virtù dell'unicità globale delle soluzioni, avremmo
\(\displaystyle u_1(1)>u_0(1)=b_0 \).
Ma allora, per le proprietà dell'inf, esisterebbe \(\displaystyle u^* \in U \) tale che \(\displaystyle u^*(1)
L'unicità dell'inf inoltre DOVREBBE implicare l'unicità di \(\displaystyle b_0 \).
Comunque il mio prof di analisi l'aveva dimostrata separatamente, supponendo per assurdo che esistessero due soluzioni distinte \(\displaystyle \psi(t), \phi(t) \) e stimando che, definitivamente,
\(\displaystyle (\phi-\psi)' =\arctan\phi - \arctan\psi\geq \frac{(\phi-\psi)}{c} \) per un qualche \(\displaystyle c>1 \)
Consideriamo l'insieme dei punti per cui \(\displaystyle y'=0 , t=\frac{1}{\arctan y} \).
Le soluzioni sono decrescenti sotto quest'iperbole, crescenti al di sopra.
Sia \(\displaystyle b_0=\inf{\{u(1): u(t) \in U}\} \), dove U è l'insieme delle soluzioni che intersecano l'iperbole.
Sicuramente \(\displaystyle b_0>0\) in quanto \(\displaystyle u(1)>u(t)>0 \).
Non potendo intersecare altre soluzioni, la soluzione \(\displaystyle u_0(t; 1, b_0) \) sta sotto l'iperbole.
Dimostriamo ora che \(\displaystyle u_0>0 \).
Se esistesse T tale che \(\displaystyle u_0(T)=0 \), potremmo considerare \(\displaystyle u_1 \) tale che \(\displaystyle u_1(T+dt)=0 \). Sicuramente questa funzione esisterebbe (sono soddisfatte le ipotesi di esistenza e unicità locale per ogni \(\displaystyle t\neq 0 \)) e, in virtù dell'unicità globale delle soluzioni, avremmo
\(\displaystyle u_1(1)>u_0(1)=b_0 \).
Ma allora, per le proprietà dell'inf, esisterebbe \(\displaystyle u^* \in U \) tale che \(\displaystyle u^*(1)
L'unicità dell'inf inoltre DOVREBBE implicare l'unicità di \(\displaystyle b_0 \).
Comunque il mio prof di analisi l'aveva dimostrata separatamente, supponendo per assurdo che esistessero due soluzioni distinte \(\displaystyle \psi(t), \phi(t) \) e stimando che, definitivamente,
\(\displaystyle (\phi-\psi)' =\arctan\phi - \arctan\psi\geq \frac{(\phi-\psi)}{c} \) per un qualche \(\displaystyle c>1 \)
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