Studio qualitativo di una eq. differenziale
Salve ragazzi, sto preparando, da autodidatta, l'esame di analisi 3, l'unica cosa che ad oggi mi blocca nella risoluzione degli esercizi è lo studio qualitativo delle eq. differenziali, tracciarne il grafico quindi di alcune soluzioni particolari.
Ho provato a cercare un po' online, ma non ho trovato nulla che spiegasse precisamente come affrontare un tal problema.
Ad esempio, ho questa equazione:
\(\displaystyle x' = (2t-1)(e^x -1) \)
E la traccia dice:
"(a) discutere l’applicabilit`a dei teoremi di esistenza e unicitò locale e globale;
(b) determinare le soluzioni e tracciare il grafico di qualche soluzione rappresentativa;
(c) risolvere il problema di Cauchy con condizione iniziale x(1) = ln(2), esplicitando l’intervallo
di esistenza della soluzione."
Per la prima e la terza richiesta non c'è problema, ma il secondo punto per adesso è un tabù, non so neanche da dove partire. Qualche consiglio?
Ho provato a cercare un po' online, ma non ho trovato nulla che spiegasse precisamente come affrontare un tal problema.
Ad esempio, ho questa equazione:
\(\displaystyle x' = (2t-1)(e^x -1) \)
E la traccia dice:
"(a) discutere l’applicabilit`a dei teoremi di esistenza e unicitò locale e globale;
(b) determinare le soluzioni e tracciare il grafico di qualche soluzione rappresentativa;
(c) risolvere il problema di Cauchy con condizione iniziale x(1) = ln(2), esplicitando l’intervallo
di esistenza della soluzione."
Per la prima e la terza richiesta non c'è problema, ma il secondo punto per adesso è un tabù, non so neanche da dove partire. Qualche consiglio?
Risposte
Ciao, devi anzitutto trovare l'integrale generale dell'EDO che rappresenta l'insieme di tutte le soluzioni dell'EDO che differiscono per una costante, poi in seguito assegni dei valori a piacere alla costante e ti disegni le soluzioni particolari ....
Cioè, trovo l'integrale generale, che per il metodo delle variabili seprabili so che è x(t)= -ln[1-e^(t^2 -t +c)], e poi do un t qualsiasi per trovare delle soluzioni particolari? (magari parto proprio dalla soluzione particolare del problema di cauchy cosicché tolgo quel c, no?). Cioè, banalmente è solo questo che devo fare?
Ma tipo posso anche studiare un po' la derivata prima, cioè la traccia, per vedere come si comporta no?
Ma tipo posso anche studiare un po' la derivata prima, cioè la traccia, per vedere come si comporta no?
non devi assegnare un $ t $per trovare una soluzione particolare, ma proprio un $c$, per esempio per $c = 0$ trovi la soluzione $-ln[1-e^(t^2 -t)]$, a questo punto puoi studiartela come ti pare e piace con i metodi che conosci, nel problema di Cauchy , sono proprio le condizioni iniziali che ti "selezionano" tra le infinite soluzioni , quella che risolve il problema.
Ovviamente non è che ti devi studiare tutte le infinite funzioni per tracciare il campo dell'EDO, perchè avranno, tutte più o meno lo stesso andamento qualitativo quindi basta che ne disegni qualcuna e poi qualitativamente ti tracci tutto il campo...
Ovviamente non è che ti devi studiare tutte le infinite funzioni per tracciare il campo dell'EDO, perchè avranno, tutte più o meno lo stesso andamento qualitativo quindi basta che ne disegni qualcuna e poi qualitativamente ti tracci tutto il campo...
Perfetto, ti ringrazio infinitamente!
volendo,si può fare anche lo studio qualitativo senza trovare esplicitamente le soluzioni
ad esempio si può cominciare ad osservare che l'equazione ha la soluzione stazionaria $x=0$
poi,se $x(0)=alpha$,con $alpha>0$ la soluzione è decrescente in $t=0$ perchè $x '(0)<0$
in $t=1/2$ ha un punto di minimo relativo
la soluzione esplode in corrispondenza di una data $t_1>1/2$ : se $t$ potesse tendere a $+infty$,si avrebbe $x' geq (e^x-1) forall tgeq t_0>1/2$ e $x(t_0)=beta>0$ ,ma ciò è assurdo perchè la soluzione di $x'=e^x-1;x(t_0)=beta$ esplode a destra di $t_0$
la soluzione esplode anche in corrispondenza di un $t_2<0$ in quanto per $tleq0$ si ha $x'< -(e^x-1)$ e la soluzione di $x'=-(e^x-1),x(0)=alpha$ esplode a sinistra dello zero
analoghe considerazioni si possono fare per $alpha<0$
ad esempio si può cominciare ad osservare che l'equazione ha la soluzione stazionaria $x=0$
poi,se $x(0)=alpha$,con $alpha>0$ la soluzione è decrescente in $t=0$ perchè $x '(0)<0$
in $t=1/2$ ha un punto di minimo relativo
la soluzione esplode in corrispondenza di una data $t_1>1/2$ : se $t$ potesse tendere a $+infty$,si avrebbe $x' geq (e^x-1) forall tgeq t_0>1/2$ e $x(t_0)=beta>0$ ,ma ciò è assurdo perchè la soluzione di $x'=e^x-1;x(t_0)=beta$ esplode a destra di $t_0$
la soluzione esplode anche in corrispondenza di un $t_2<0$ in quanto per $tleq0$ si ha $x'< -(e^x-1)$ e la soluzione di $x'=-(e^x-1),x(0)=alpha$ esplode a sinistra dello zero
analoghe considerazioni si possono fare per $alpha<0$
sì, avevo trovato qualcosa su un modus operandi del genere, però a me piace avere la mia guida personale, cioè la soluzione esplicita, e poi tracciare di seguito il grafico avendo già idea di come possa essere, comunque grazie mille anche a te!
"maximus24":
sì, avevo trovato qualcosa su un modus operandi del genere, però a me piace avere la mia guida personale, cioè la soluzione esplicita, e poi tracciare di seguito il grafico avendo già idea di come possa essere, comunque grazie mille anche a te!
ho aggiunto il mio post perchè nel titolo si legge " studio qualitativo", che consiste proprio nel determinare il comportamento delle soluzioni senza trovarle
hai ragione 
ma in quel momento non mi veniva null'altro in mente per descrivere ciò che cercavo ahah
ma in quel momento non mi veniva null'altro in mente per descrivere ciò che cercavo ahah
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