Studio qualitativo

[Apocalisse86]

Sia $y(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$y'=(1+y^2)x^2+x^4$
$y(0)=0$

si chiede di:
1)studiare crescenza e decrescenza di $y(x)$;
2)calcolare il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $y(x)$ nell'origine;
3)dire se la soluzione è limitata(motivando la risp);
4)dire se la soluzione è "in grande".

Per i primi due punti no problem (spero!!):
1) $y'>0 \rightarrow $sempre perché somma di quadrati
2)Il coeff ang nell'origine è uguale a $y'(0)=0$

3) e 4) chiedo aiuto a voi!!!

Grazie Ciao!!

[Apocalisse86]

Allora??
anche solo un piccolo suggerimento!!please!!

[Ale831]

3) Se la derivata prima è sempre positiva, la funzione non dovrebbe essere sempre crescente? Quindi non può essere limitata (almeno intuitivamente mi viene da dire così).

4) Non so cosa intendi per "in grande"

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Ale83":3) Se la derivata prima è sempre positiva, la funzione non dovrebbe essere sempre crescente? Quindi non può essere limitata (almeno intuitivamente mi viene da dire così).

Beh piano... la funzione $x \mapsto \arctan (x)$ a destra di 0 è strettamente crescente ma limitata.

[ficus2002]

"Apocalisse86":Sia $y(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$y'=(1+y^2)x^2+x^4$
$y(0)=0$

3)dire se la soluzione è limitata(motivando la risp);

Poichè $y'\in C^0(RR)$ e $y'(x)\ge x^2+x^4$, è
$y(x)=\int_0 ^x y'(t)dt\ge int_0^x t^2+t^4 dt=x^3/3+x^5/5to oo$ per $xto oo$, pertanto $y$ non è limitata.

[Ale831]

Hai ragione Martino, ho scritto una boiata.

[Apocalisse86]

"ficus2002":[quote="Apocalisse86"]Sia $y(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$y'=(1+y^2)x^2+x^4$
$y(0)=0$

3)dire se la soluzione è limitata(motivando la risp);

Poichè $y'\in C^0(RR)$ e $y'(x)\ge x^2+x^4$, è
$y(x)=\int_0 ^x y'(t)dt\ge int_0^x t^2+t^4 dt=x^3/3+x^5/5to oo$ per $xto oo$, pertanto $y$ non è limitata.[/quote]

Potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore...?

[ficus2002]

"Apocalisse86":Potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore...?

Questo problema di Cauchy ha un'unica soluzione $y:RR\to RR$. Poichè $y$ è continua, segue, che anche $y'$ è continua. Allora, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale: $y(x)=\int_0 ^x y'(t)dt$.
Da $y^2\ge 0$, segue che $y'(x)\ge x^2+x^4$, quindi $\int_0 ^x y'(t)dt\ge int_0^x t^2+t^4 dt$.

[Apocalisse86]

"ficus2002":[quote="Apocalisse86"]Potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore...?

[/quote]
Chiedo venia
oggi sono io quello "limitato"e non la soluzione dell'equazione ma non riesco a capire questo passaggio

"ficus2002":Da $y^2\ge 0$, segue che $y'(x)\ge x^2+x^4$, quindi $\int_0 ^x y'(t)dt\ge int_0^x t^2+t^4 dt$.

mi faresti un favore davvero immenso se riscriveresti tutto passo passo come se stessi svolgendo l'esercizio per un bimbo che non sa nulla di equazioni differenziali...ti chiedo scusa so che non sei obbligato a farlo(e ti capisco se non lo farai perché alla fine è solo colpa mia che a volte ho la testa dura e non capisco neanche le cose più facili ) anzi ti ringrazio per la pazienza e il tempo già sprecato per me...comunque in caso te ne sarei davvero grato..!!:-D
ps
e poi mi sa che faccio anche un po' di confusione con la notazione che usi tu nel senso non capisco bene cosa indichi con $y \equiv y(x)$ cioè la soluzione? mentre $y^2$ ??

Scusa ancora e ti ringrazio per quello che hai già fatto!!

[ficus2002]

"Apocalisse86":Potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore...?

$y(x)^2\ge 0\quad, x\in RR$ così $y'(x)=(1+y(x)^2)x^2+x^4\ge x^2+x^4$. Per la proprietà degli integrali
$\int_0 ^x y'(t)dt\ge int_0^x t^2+t^4 dt$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Forse il problema è questa disuguaglianza?

$(1+y(x)^2)x^2+x^4\ge x^2+x^4$

Essa vale perché $1+y(x)^2 \ge 1$.

Scusami se questo ti era chiaro

Ciao ciao.