Studio punti critici
salve, ho questa funzione:
$x^4+y^4-2(x+y)^2+2$
e ne devo studiare i punti critici.
Ho calcolato le derivate parziali, essendo la funzione di classe $C^(oo)$:
$fx = 4x^3-4x-4y
fy = 4y^3-4y-4x$
e le ho poste uguale a 0;
la prima mi viene: $4x(x^2-1)=4y$
la seconda: $4y(y^2-1)=4x$
come risolvere questo sistema?
Grazie.
$x^4+y^4-2(x+y)^2+2$
e ne devo studiare i punti critici.
Ho calcolato le derivate parziali, essendo la funzione di classe $C^(oo)$:
$fx = 4x^3-4x-4y
fy = 4y^3-4y-4x$
e le ho poste uguale a 0;
la prima mi viene: $4x(x^2-1)=4y$
la seconda: $4y(y^2-1)=4x$
come risolvere questo sistema?
Grazie.
Risposte
sottrai membro a membro e metti a fattor comune $(y-x)$.
Allora, io risolverei così:
Innanzitutto dopo aver trovato le derivate parziali hai il seguente sistema:
$ { ( 4x^3-4(x+y)=0 ),( 4y^3-4(x+y)=0):} $
A questo punto sottrai la prima equazione dalla seconda, trovandoti $ 4x^3=4y^3 <=> x=y $
Adesso vai a sostutire $x=y$ in $4x^3-4(x+y)=0$, ottenendo: $ x=0 e x=+-2
Quindi tenendo conto che $x=y$ i tuoi punti critici saranno: $ (0,0);(2,2);(-2,-2)$[/code]
Innanzitutto dopo aver trovato le derivate parziali hai il seguente sistema:
$ { ( 4x^3-4(x+y)=0 ),( 4y^3-4(x+y)=0):} $
A questo punto sottrai la prima equazione dalla seconda, trovandoti $ 4x^3=4y^3 <=> x=y $
Adesso vai a sostutire $x=y$ in $4x^3-4(x+y)=0$, ottenendo: $ x=0 e x=+-2
Quindi tenendo conto che $x=y$ i tuoi punti critici saranno: $ (0,0);(2,2);(-2,-2)$[/code]
"Nash88":
Allora, io risolverei così:
Innanzitutto dopo aver trovato le derivate parziali hai il seguente sistema:
$ { ( 4x^3-4(x+y)=0 ),( 4y^3-4(x+y)=0):} $
A questo punto sottrai la prima equazione dalla seconda, trovandoti $ 4x^3=4y^3 <=> x=y $
Adesso vai a sostutire $x=y$ in $4x^3-4(x+y)=0$, ottenendo: $ x=0 e x=+-2
Quindi tenendo conto che $x=y$ i tuoi punti critici saranno: $ (0,0);(2,2);(-2,-2)$[/code]
però non mi trovo con 2,2; -2;-2
penso sia la radice quadrata di 2.
ok, sono riuscito a farlo, grazie!
ora chiedo un ultimo piacere:
ho la $x^3+x^2y-xy^2-y^3$
il punto critico è unico ed è (0;0), ed in questo punto l'hessiano viene malauguratamente 0.
come devo comportarmi in questa situazione? il libro, con hessiano =0, è alquanto lacunoso..
Allora, quando l'hessiamo è nullo devi passare allo studio della funzione oppure calcolare il determinante della matrice di autovalori.
1) Matrice di autovalori
Devi calcolare il determinante dell matrice di autovalori e porlo = 0. La matrice di autovalori sarà:
$ det(Hf(x,y)-kI) $, dove Hf(x,y) è la matrice hessiana valutata nel tuo punto critico; k è l'autovalore e I è la matrice identica. Quindi in forma estesa avremo:
$ | ( fx x -k , fx y ),( fy x, fy y-k) |=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 $
Quindi dovrai risolvere l'equazione di secondo grado: $|=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 = 0 $. Se le soluzioni sono entrambe positive il punto è di minimo; se sono entrambe negative il punto è di massimo; se le soluzioni sono positive e negative il punto è di sella.
Nel nostro caso abbiamo: $Hf(0,0)= | (0 , 0 ),( 0, 0) |$. Allora la nostra matrice di autovalori sarà: $Hf(0,0)-kI = | (-k , 0 ),( 0, -k) |$. Quindi dovremmo risolvere:
$k^2=0<=>k=0$. Quindi l'unico autovalore è nullo, allora dobbiamo applicare il metodo 2.
2)Studio della funzione
Notiamo subito che: $x^3+x^2y-xy^2-y^3=(x-y)(x+y)^2$, il segno di questa funzione è dato da (x-y) che sarà maggiore o minore di zero a seconda che xy. Quindi a priori non si può stabilire se (0,0) è punto di massimo o di minimo. Allora (0,0) è punto a sella.
Spero sia stato chiaro. Ciaoo.
1) Matrice di autovalori
Devi calcolare il determinante dell matrice di autovalori e porlo = 0. La matrice di autovalori sarà:
$ det(Hf(x,y)-kI) $, dove Hf(x,y) è la matrice hessiana valutata nel tuo punto critico; k è l'autovalore e I è la matrice identica. Quindi in forma estesa avremo:
$ | ( fx x -k , fx y ),( fy x, fy y-k) |=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 $
Quindi dovrai risolvere l'equazione di secondo grado: $|=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 = 0 $. Se le soluzioni sono entrambe positive il punto è di minimo; se sono entrambe negative il punto è di massimo; se le soluzioni sono positive e negative il punto è di sella.
Nel nostro caso abbiamo: $Hf(0,0)= | (0 , 0 ),( 0, 0) |$. Allora la nostra matrice di autovalori sarà: $Hf(0,0)-kI = | (-k , 0 ),( 0, -k) |$. Quindi dovremmo risolvere:
$k^2=0<=>k=0$. Quindi l'unico autovalore è nullo, allora dobbiamo applicare il metodo 2.
2)Studio della funzione
Notiamo subito che: $x^3+x^2y-xy^2-y^3=(x-y)(x+y)^2$, il segno di questa funzione è dato da (x-y) che sarà maggiore o minore di zero a seconda che x
Spero sia stato chiaro. Ciaoo.
"Nash88":
Allora, quando l'hessiamo è nullo devi passare allo studio della funzione oppure calcolare il determinante della matrice di autovalori.
1) Matrice di autovalori
Devi calcolare il determinante dell matrice di autovalori e porlo = 0. La matrice di autovalori sarà:
$ det(Hf(x,y)-kI) $, dove Hf(x,y) è la matrice hessiana valutata nel tuo punto critico; k è l'autovalore e I è la matrice identica. Quindi in forma estesa avremo:
$ | ( fx x -k , fx y ),( fy x, fy y-k) |=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 $
Quindi dovrai risolvere l'equazione di secondo grado: $|=(fx x-k)(fy y-k)-(fx y)^2 = 0 $. Se le soluzioni sono entrambe positive il punto è di minimo; se sono entrambe negative il punto è di massimo; se le soluzioni sono positive e negative il punto è di sella.
Nel nostro caso abbiamo: $Hf(0,0)= | (0 , 0 ),( 0, 0) |$. Allora la nostra matrice di autovalori sarà: $Hf(0,0)-kI = | (-k , 0 ),( 0, -k) |$. Quindi dovremmo risolvere:
$k^2=0<=>k=0$. Quindi l'unico autovalore è nullo, allora dobbiamo applicare il metodo 2.
2)Studio della funzione
Notiamo subito che: $x^3+x^2y-xy^2-y^3=(x-y)(x+y)^2$, il segno di questa funzione è dato da (x-y) che sarà maggiore o minore di zero a seconda che xy. Quindi a priori non si può stabilire se (0,0) è punto di massimo o di minimo. Allora (0,0) è punto a sella.
Spero sia stato chiaro. Ciaoo.
Grazie, ho risolto col secondo metodo!
Scusate se mi intrometto... I procedimenti postato da Nash mi paiono corretti ma un avviso sulla terminologia: "Matrice di autovalori" non l'ho mai sentito ed è un termine che non userei, perché suggerisce che le entrate della matrice siano gli autovalori, il che è falso. Comunque, è solo la mia opinione.
Vabbè io l'ho usato per capirci meglio.
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