Studio ordine di infinitesimo
Ciao ragazzi..mi spiegate (magari con qualche esempio) come si studia l'ordine di infinitesimo di una funzione?
poi avrei un'altra domanda che non c'entra con questo argomento: se faccio i limiti di funzioni trigonometriche, per facilitare i calcoli devo usare gli sviluppi di MacLaurin? Se si, fino a che termine mi devo fermare? (ho un po di confusione su questa parte :S)
Grazie anticipatamente a chiunque mi voglia e possa aiutare..ciauu
poi avrei un'altra domanda che non c'entra con questo argomento: se faccio i limiti di funzioni trigonometriche, per facilitare i calcoli devo usare gli sviluppi di MacLaurin? Se si, fino a che termine mi devo fermare? (ho un po di confusione su questa parte :S)
Grazie anticipatamente a chiunque mi voglia e possa aiutare..ciauu
Risposte
grazie per il link..però non mi è ancora molto chiaro :S
non capisco come avviene il confronto..cioè se ho una qualsiasi funzione integrale ($\int_{0}^{infty} f(x) dx$) devo fare il limite tendente a $0$ ad esempio di $f(x)/g(x)$ dove $g(x)$ è $1/x^alpha$ per esempio? non riesco a capire poi come trovo il valore di $alpha$ (devo trovarlo in modo tale che si annulli?)
se faceste un esempio semplicissimo ve ne sarei grato così capisco prima (possibilmente evitate la trigonometria xD)
grazie ancora
non capisco come avviene il confronto..cioè se ho una qualsiasi funzione integrale ($\int_{0}^{infty} f(x) dx$) devo fare il limite tendente a $0$ ad esempio di $f(x)/g(x)$ dove $g(x)$ è $1/x^alpha$ per esempio? non riesco a capire poi come trovo il valore di $alpha$ (devo trovarlo in modo tale che si annulli?)
se faceste un esempio semplicissimo ve ne sarei grato così capisco prima (possibilmente evitate la trigonometria xD)
grazie ancora
praticamente devo dividere la mia funzione per $x^alpha$ partendo da $alpha=0$ e incrementandolo fino a quando il limite non dia un valore diverso da $0$ (anche negativo no?) ?? e una volta che trovo il limite finito trovo che il valore di $alpha$ è l'ordine di infinitesimo?
ho capito bene?
ho capito bene?
ok grazie mille sergio..se è così allora credo di aver capito xD se c'è qualche dettaglio importante che qualcun'altro conosce se può scriverlo lo ringrazio..ciau
"Sergio":
La funzione $sin 2x$ è un infinitesimo di ordine $1$, infatti $lim_{x to 0}(sin 2x)/x=2$.
La funzione $1-cos x$ è un infinitesimo di ordine $2$, infatti:
$lim_(x to 0)(1-cos x)/x=lim_(x to 0)(1-cos^2 x)/(x(1+cos x))=lim_(x to 0)((sin x)/x*(sin x)/(1+cos x))=1*0/2=0$
$lim_(x to 0)(1-cos x)/x^2=lim_(x to 0)(1-cos^2 x)/(x^2(1+cos x))=lim_(x to 0)((sin^2 x)/x^2*1/(1+cos x))=1*1/2=1/2$
Ecc.
Come si fa a dire è di ordine esempio $2x$ è di ordine 1
$sen^3x$ è di ordine 3 , $1-cosx$ è di ordine 2 ?
sono arrivato allo studio degli infinitesimi, ma nel testo non c'è una tabella dimostrativa e classificativa del criterio con cui si dice $f(x)$ esmpio appartiene a quest'ordine ecc...
Sapendo che vogliamo calcolare la velocità con cui una determinata funzione si avvicina allo "0"
potete gentilmente chiarire con quali "strumenti" è possibile calcolare l'ordine di infinitesimo, e con quale criterio alla base di cosa si assegna il primo il secondo e il terzo ordine?
e se questa classificazione dipende sempre dal contronto "Rispetto ad un campione" o può essere fatta a parte.
Grazie cordiali saluti.
Beh Sergio te l'ha detto, hai la tua bella $f(x)$ che tende a $0$ quando $x \rarr 0$. A questo punto, se $f(x) / x^n = L != 0$, $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $n$ perchè tende a 0 "con la stessa velocità" di $x^n$.
"Gatto89":
Beh Sergio te l'ha detto, hai la tua bella $f(x)$ che tende a $0$ quando $x \rarr 0$. A questo punto, se $f(x) / x^n = L != 0$, $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $n$ perchè tende a 0 "con la stessa velocità" di $x^n$.
ehm... forse non mi sono spiegato, la parte teorica l'ho capita
Volevo sapere come si dimostra la formuletta, e la spiegazione di ciò che ha chiaramente scritto Sergio dimostrando appunto che 1-cosx è di ordine 2.
ad esempio l'indice n nell'applicazione pratica di un esercizio dimostrativo quale può essere??: infatti per questo ho chiesto quali conoscenze "strumenti" o metodi come vogliate ci vogliono per poter calcolare l'ordine!
ps: nel testo mio invece di $f(x) / x^n = L != 0$, c'è $f(x)/(x-x_0)^n = L!=0$
"mat100":
[quote="Gatto89"]Beh Sergio te l'ha detto, hai la tua bella $f(x)$ che tende a $0$ quando $x \rarr 0$. A questo punto, se $f(x) / x^n = L != 0$, $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $n$ perchè tende a 0 "con la stessa velocità" di $x^n$.
ehm... forse non mi sono spiegato, la parte teorica l'ho capita
Volevo sapere come si dimostra la formuletta, e la spiegazione di ciò che ha chiaramente scritto Sergio dimostrando appunto che 1-cosx è di ordine 2.
ad esempio l'indice n nell'applicazione pratica di un esercizio dimostrativo quale può essere??: infatti per questo ho chiesto quali conoscenze "strumenti" o metodi come vogliate ci vogliono per poter calcolare l'ordine!
ps: nel testo mio invece di $f(x) / x^n = L != 0$, c'è $f(x)/(x-x_0)^n = L!=0$[/quote]
Nel caso più semplice, quello che proponi tu, $ 1 - cos(x) $, hai il limite notevole che ti viene in soccorso. Infatti sai che:
$(1 - cos(x))/x^2 -> 1/2 (= L != 0 )$ per $ x -> 0$
Quindi $1 - cos(x)$ per $x ->0$ è dello stesso ordine di $x^2$.
Nei casi un po' più complessi si usa L'Hospital o McLaurin.
Ad esempio (prendo lo stesso infinitesimo di prima: $1 - cos(x)$)
$lim_(x ->0) ( 1 - cos(x))/x^n = lim_(x ->0) sin(x)/(nx^(n-1)) = lim_(x ->0) cos(x)/((n-1) n x^(n-2))$
E quindi concludi che per $n = 2$ il limite è finito ed è diverso da $0$.
"Seneca":
[quote="mat100"][quote="Gatto89"]Beh Sergio te l'ha detto, hai la tua bella $f(x)$ che tende a $0$ quando $x \rarr 0$. A questo punto, se $f(x) / x^n = L != 0$, $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $n$ perchè tende a 0 "con la stessa velocità" di $x^n$.
ehm... forse non mi sono spiegato, la parte teorica l'ho capita
Volevo sapere come si dimostra la formuletta, e la spiegazione di ciò che ha chiaramente scritto Sergio dimostrando appunto che 1-cosx è di ordine 2.
ad esempio l'indice n nell'applicazione pratica di un esercizio dimostrativo quale può essere??: infatti per questo ho chiesto quali conoscenze "strumenti" o metodi come vogliate ci vogliono per poter calcolare l'ordine!
ps: nel testo mio invece di $f(x) / x^n = L != 0$, c'è $f(x)/(x-x_0)^n = L!=0$[/quote]
Nel caso più semplice, quello che proponi tu, $ 1 - cos(x) $, hai il limite notevole che ti viene in soccorso. Infatti sai che:
$(1 - cos(x))/x^2 -> 1/2 (= L != 0 )$ per $ x -> 0$
Quindi $1 - cos(x)$ per $x ->0$ è dello stesso ordine di $x^2$.
Nei casi un po' più complessi si usa L'Hospital o McLaurin.
Ad esempio (prendo lo stesso infinitesimo di prima: $1 - cos(x)$)
$lim_(x ->0) ( 1 - cos(x))/x^n = lim_(x ->0) sin(x)/(nx^(n-1)) = lim_(x ->0) cos(x)/((n-1) n x^(n-2))$
E quindi concludi che per $n = 2$ il limite è finito ed è diverso da $0$.[/quote]
Grazie Senesa sei stato molto esaustivo nello spiegare con che strumenti si fanno questi calcoli!, quindi limiti notevoli, de l'hopital, ecc.. da caso a caso !
Cmq quel metodo di procedere per $n=2$ "dovrebbe essere un teorema
" , se mettiamo per assurdo che avremmo avuto per $n=3$ un limite finito diverso da zero, Avremmo detto che f ha ordine di infinitesimo 3 ???Adesso ho capito il meccanismo per procedere... avrei ancora questo dubbio sulla "classificazione" dell'ordine... da cui supra ho fatto la domanda!
Grazie mille.
Da quel che ne so, dipende dall'infinitesimo campione (quello di confronto, per capirci).
Comunque la cosa si complica se cominciamo a chiederci che ordine di infinito, ad esempio, ha la funzione $f(x) = x * log(x)$ per $x -> +oo$.
Proviamo con De L'Hospital (anche se non serve necessariamente):
$lim_(x -> +oo) (x * log(x))/x^(alpha) = lim_(x -> +oo) (x * log(x))/(alpha* x^(alpha - 1))$
$lim_(x -> +oo) (log(x) + 1)/(alpha* x^(alpha - 1)) =$
$lim_(x -> +oo) (1/x)/(alpha*(alpha - 1)* x^(alpha - 2)) = $
$lim_(x -> +oo) 1/(alpha*(alpha - 1)* x^(alpha - 1))$
Studiamo questo limite al variare del parametro $alpha$. Per $alpha > 1$ il denominatore è un infinito e quindi il limite vale $0$.
Per $0 < alpha < 1$, il denominatore è un infinitesimo e quindi il limite vale $oo$.
Se $alpha = 1$ ? Il fattore $(alpha - 1)$ è $0$ e quini il limite è ancora infinito.
Spero ti sia reso conto dove voglio andare a parare. Esistono certi infiniti che solitamente si dicono infrareali o intrareali, i quali sono confrontabili con tutti gli infiniti reali ( $x^(alpha)$ ) ma sono inferiori ad alcuni e superiori al altri.
Nel nostro caso, considera due parametri $0 < beta <= 1$ e $gamma > 1$. Per $x -> +oo$:
$"ord"( x^(beta)) < "ord"(x * log(x)) < "ord"( x^(gamma))$
Comunque la cosa si complica se cominciamo a chiederci che ordine di infinito, ad esempio, ha la funzione $f(x) = x * log(x)$ per $x -> +oo$.
Proviamo con De L'Hospital (anche se non serve necessariamente):
$lim_(x -> +oo) (x * log(x))/x^(alpha) = lim_(x -> +oo) (x * log(x))/(alpha* x^(alpha - 1))$
$lim_(x -> +oo) (log(x) + 1)/(alpha* x^(alpha - 1)) =$
$lim_(x -> +oo) (1/x)/(alpha*(alpha - 1)* x^(alpha - 2)) = $
$lim_(x -> +oo) 1/(alpha*(alpha - 1)* x^(alpha - 1))$
Studiamo questo limite al variare del parametro $alpha$. Per $alpha > 1$ il denominatore è un infinito e quindi il limite vale $0$.
Per $0 < alpha < 1$, il denominatore è un infinitesimo e quindi il limite vale $oo$.
Se $alpha = 1$ ? Il fattore $(alpha - 1)$ è $0$ e quini il limite è ancora infinito.
Spero ti sia reso conto dove voglio andare a parare. Esistono certi infiniti che solitamente si dicono infrareali o intrareali, i quali sono confrontabili con tutti gli infiniti reali ( $x^(alpha)$ ) ma sono inferiori ad alcuni e superiori al altri.
Nel nostro caso, considera due parametri $0 < beta <= 1$ e $gamma > 1$. Per $x -> +oo$:
$"ord"( x^(beta)) < "ord"(x * log(x)) < "ord"( x^(gamma))$
"Seneca":
Da quel che ne so, dipende dall'infinitesimo campione (quello di confronto, per capirci).
Spero ti sia reso conto dove voglio andare a parare. Esistono certi infiniti che solitamente si dicono infrareali o intrareali, i quali sono confrontabili con tutti gli infiniti reali ( $x^(alpha)$ ) ma sono inferiori ad alcuni e superiori al altri.
Da come ho capito "nella pratica" comune di svolgimento dei limiti la cosa importante è confrontarlo sempre con un infinitesimo campione x " nei casi fortunati dato che come sappiamo," non sempre si può trovare"
Tutta la mia confusione a riguardo è nata Leggendo che nel caso delle funzioni polinomiali il grado di infinitesimo è uguale al grado del polinomio ...
quindi $(a(x)^2)$ $=2$ $(b(x)^3)$=$3$ ecc ecc...
se qualcuno sa qualcosa in merito ovviamente prego ri rispondere
grazie.
Tutta la mia confusione a riguardo è nata Leggendo che nel caso delle funzioni polinomiali il grado di infinitesimo è uguale al grado del polinomio ...
Sicuro che non ti stai riferendo agli ordini di infinito?
"Seneca":Tutta la mia confusione a riguardo è nata Leggendo che nel caso delle funzioni polinomiali il grado di infinitesimo è uguale al grado del polinomio ...
Sicuro che non ti stai riferendo agli ordini di infinito?
da ciò che ho letto, vale per gli ordini di infinitesimo sia per gli ordini di infinito!
non sono sicuro al 100% ma da dove l'ho letto, diceva che vale per ambedue ordini.
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