Studio monotonia funzione arcotangente con radice

[Momotaro]

Ciao a tutti.
Nello studio di questa funzione:

$f(x)=arctan(x-3)-sqrt(frac(x)(2))$

mi sono bloccato allo studio della monotonia.
Facendo la derivata si ottiene:

$frac(1)(x^2-6x+10)-1/(2*sqrt(2)*sqrt(x)) $

Ora per studiare il segno l'ho riscritta in questo modo:

$ (2*sqrt(2)*sqrt(x)-(x^2-6x+10))/((x^2-6x+10)*(2*sqrt(2)*sqrt(x)))$

Il denominatore è sempre maggiore di 0 per $AAx>=0$
Per il numeratore avevo pensato di risolvere la seguente disequazione irrazionale:

$sqrt(x)>=(x^2-6x+10)/(2*sqrt(2))$

Elevando al quadrato si arriva ad un polinomio di 4° grado che non so come risolvere.
Volevo sapere se per studiare il segno bisogna per forza risolvere la disequazione o se ho sbagliato ad impostare la derivata e c'è qualche altro modo.

Grazie.

[Seneca1]

Ho visto di peggio, dai...

$sqrt( x ) >= 1/(2 sqrt(2)) * (x^2 - 6x + 10)$

si può risolvere graficamente.

[Momotaro]

Ma non c'è un metodo per risolverlo "a mano" diciamo?
Si riesce ad utilizzare questo metodo senza l'utilizzo di programmi?

[Seneca1]

... Graficamente, appunto (cioè tracci a mano le due funzioni e vedi come sono tra loro).

Altrimenti dovresti fare tutti i conti... Magari provando a fattorizzare il polinomio di quarto grado che ti viene fuori con qualche tecnica (Ruffini, per esempio)...