Studio monotònia funzione
Salve a tutti,
ho la seguente funzione: $f:=x rarr 1/(e^x-1)$
La traccia era "trovare il dominio e stablire la monotònia" ma in realtà il dominio c'è stato preanticipato dalla professoressa stessa ovvero:
$dom = (-oo,0) uuu (0,+oo)$
Sappianmo che si esclude quindi giusto $0$ dal dominio $RR$ perchè altrimenti $e^0 =1$ e sottratto $1$ avremmo $0$ al denominatore che ci annullerebbe la funzione.
Ora, c'è stato ovviamente consigliato di spezzare in due lo studio della funzione, ovvero di studiarla separatamente nei due intervalli, per ora ho preso in considerazione l'invervallo $(-oo,0)$
Dunque $e^x$ per $x<0$ sappiamo che è crescente per via del grafico della funzione esponenziale;
Sottraendogli una costante, ovvero $1$, rimane sempre crescente;
Andando ora nella funzione reciproco sappiamo che per valori negativi la funzione è crescente, quindi stiamo facendo la composizione di due funzioni crescenti (esponenziale e reciproco) e da quel che è stato detto dalla professoressa è come "la regola dei segni" ovvero Crescente composta Crescente rimane crescente.
Quindi possiamo idre che nel primo intervallo la funzione ha monotònia crescente?
Se ho detto bene mi metto a studiare anche l'altro intervallo.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Neptune.
ho la seguente funzione: $f:=x rarr 1/(e^x-1)$
La traccia era "trovare il dominio e stablire la monotònia" ma in realtà il dominio c'è stato preanticipato dalla professoressa stessa ovvero:
$dom = (-oo,0) uuu (0,+oo)$
Sappianmo che si esclude quindi giusto $0$ dal dominio $RR$ perchè altrimenti $e^0 =1$ e sottratto $1$ avremmo $0$ al denominatore che ci annullerebbe la funzione.
Ora, c'è stato ovviamente consigliato di spezzare in due lo studio della funzione, ovvero di studiarla separatamente nei due intervalli, per ora ho preso in considerazione l'invervallo $(-oo,0)$
Dunque $e^x$ per $x<0$ sappiamo che è crescente per via del grafico della funzione esponenziale;
Sottraendogli una costante, ovvero $1$, rimane sempre crescente;
Andando ora nella funzione reciproco sappiamo che per valori negativi la funzione è crescente, quindi stiamo facendo la composizione di due funzioni crescenti (esponenziale e reciproco) e da quel che è stato detto dalla professoressa è come "la regola dei segni" ovvero Crescente composta Crescente rimane crescente.
Quindi possiamo idre che nel primo intervallo la funzione ha monotònia crescente?
Se ho detto bene mi metto a studiare anche l'altro intervallo.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Neptune.
Risposte
Prendi il seguente esempio:
$f(x) = - x$
$g(u) = u^2$
Componendo trovi la funzione $g°f (x) = x^2$
Nell'intervallo $] 0, +oo [$, dove $g$ ed $f$ sono una crescente e l'altra decrescente, la funzione composta $g°f$ è monotona crescente (mentre, da quel che mi dici, avrei dovuto ottenere una funzione monotona decrescente). Sbaglio?
Con la conoscenza delle derivate è immediato constatare che la funzione è monotona decrescente sia in $] - oo, 0[$ che in $]0, +oo [$.
$f(x) = - x$
$g(u) = u^2$
Componendo trovi la funzione $g°f (x) = x^2$
Nell'intervallo $] 0, +oo [$, dove $g$ ed $f$ sono una crescente e l'altra decrescente, la funzione composta $g°f$ è monotona crescente (mentre, da quel che mi dici, avrei dovuto ottenere una funzione monotona decrescente). Sbaglio?
Con la conoscenza delle derivate è immediato constatare che la funzione è monotona decrescente sia in $] - oo, 0[$ che in $]0, +oo [$.
Scusa ma non sono d'accordo.
La prima funzione è a mio parere sempre decrescente..La seconda sempre decrescente anche.
La prima funzione è a mio parere sempre decrescente..La seconda sempre decrescente anche.
"edge":
Scusa ma non sono d'accordo.
La prima funzione è a mio parere sempre decrescente..La seconda sempre decrescente anche.
A quali funzioni ti riferisci con "prima" e "seconda"?
Quando dico che non sono d'accordo non mi riferisco a te,comuqneu mi riferisco come prima funzione a quella postata da Neptune però intesa con x<0 e la seconda per x>0
Scusate io ho che l'esponenziale se la base $>1$ è crescente, altrimenti è decrescente no?;
Il reciproco invece mi sa che mi sono amabilmente sbagliato, ovvero nella parte positiva si nota subito che è decrescente;
Nella pare negativai invece mi sono confuso, è descrescente anche li. Giusto?
Quindi abbiamo nel primo intervallo crescente composta a decrescente e quindi rimane decrescente, e idem anche per il secondo intervallo?
Comunque per prima funzione intendo l'esponenziale, che calcolo per primo, e per seconda funzione il reciproco.
Il reciproco invece mi sa che mi sono amabilmente sbagliato, ovvero nella parte positiva si nota subito che è decrescente;
Nella pare negativai invece mi sono confuso, è descrescente anche li. Giusto?
Quindi abbiamo nel primo intervallo crescente composta a decrescente e quindi rimane decrescente, e idem anche per il secondo intervallo?
Comunque per prima funzione intendo l'esponenziale, che calcolo per primo, e per seconda funzione il reciproco.
"Seneca":
Prendi il seguente esempio:
$f(x) = - x$
$g(u) = u^2$
Componendo trovi la funzione $g°f (x) = x^2$
Nell'intervallo $] 0, +oo [$, dove $g$ ed $f$ sono una crescente e l'altra decrescente, la funzione composta $g°f$ è monotona crescente (mentre, da quel che mi dici, avrei dovuto ottenere una funzione monotona decrescente). Sbaglio?
Con la conoscenza delle derivate è immediato constatare che la funzione è monotona decrescente sia in $] - oo, 0[$ che in $]0, +oo [$.
La conoscenza delle derivate ancora non la ho.
Quindi, come faccio a calcolarmi se la composizione delle due funzioni è crescente o decrescente?
La tua regola mi pare sia falsa.
Prova a costruire la funzione reciproco a partire dal grafico (semplicissimo) di $e^x - 1$.
Prova a costruire la funzione reciproco a partire dal grafico (semplicissimo) di $e^x - 1$.
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