Studio monotonia

[vivi996]

Buongiorno, non capisco che teorema usi per giungere alla soluzione dello studio della monotonia di questa funzione:
$arctan(e^x-1/x)$
Io facevo la derivata e la ponevo maggiore di zero, però il libro mi dice che è descrescente on $(-infty,0)uu(0,\bar x)$ con $\bar x in (0,1)$. Come determina quella x?
So già dai limiti che in 0 - e 0+ prende + e - $\pi/2$ e che a $+infty$ tende a $\pi/2$. Non svolge i calcoli perchè non trova un valore, che ragionamento fa?

[gugo82]

Quella assegnata è composizione di funzioni crescenti, dunque è crescente (dimostralo! Senza usare le derivate, ovviamente).
Come già detto altrove, ti conviene andarti a rivedere le proprietà di base delle funzioni elementari.

[vivi996]

Ma descresce in $-infty$

[pilloeffe]

"vivi96":Ma descresce in $−\infty $

... E che caspita significa questa locuzione?
Ha ragione gugo82, quella funzione è crescente, d'altronde si ha:

$ f(x) = arctan(e^x - 1/x) \implies f'(x) = frac{1/x^2 + e^x}{(e^x - 1/x)^2 + 1} > 0 \qquad \AA x \in \RR $

Non è che per caso ti stai confondendo con la positività della funzione?

$ f(x) \ge 0 $ per $ x < 0 vv x \ge W(1) = \bar x ~~ 0,56714329... \in (0, 1) $

ove $W $ è la funzione di Lambert.